Gleichgewichtige Zahlen

Zwei verschiedene natürliche Zahlen, von denen wechselseitig die Summe der echten Teiler der einen Zahl (ohne die Zahl selbst) gleich der Summe der echten Teiler der anderen Zahl (ohne die Zahl selbst) ist, bilden ein Paar gleichgewichtiger Zahlen.^[1]

Definition

Wie oben bereits in Worten angegeben, werden gleichgewichtige Zahlen wie folgt definiert:

Wenn

${\displaystyle a,b\in \mathbb {N} }$

und

${\displaystyle \sigma ^{*}(a)=\sigma ^{*}(b)}$,

dann gilt:

${\displaystyle a{\stackrel {\sim }{_{gg}}}b}$^[2]

Durch das Testen gleicher Teilersummen für zwei verschiedene natürliche Zahlen gemäß der obigen Definition lassen sich weitere Paare gleichgewichtiger Zahlen finden. (→Teilersumme)

Zur Vereinfachung der Suche kann auch folgender Satz herangezogen werden, sofern nicht die Forderung der Beliebigkeit besteht:

Seien ${\displaystyle q\neq p}$ und ${\displaystyle q,p}$ Primzahlzwillinge mit ${\displaystyle q=p+2}$. Dann gilt:

${\displaystyle a=q^{2}{\stackrel {\sim }{_{gg}}}b=2p}$

Beispiele

Die Menge der gleichgewichtigen Zahlen umfasst für die Teilersumme ${\displaystyle \sum _{i\in \{1,\ldots ,n\}}t_{i}=1}$ die Menge aller Primzahlen ${\displaystyle \mathbb {P} }$.

Beispiele von nicht-leeren Mengen gleichgewichtiger ganzer Zahlen für ${\displaystyle \sum _{i\in \{1,\ldots ,n\}}t_{i}>1}$:^[3]

Summe der Teiler ${\displaystyle \sum _{i\in \{1,\ldots ,n\}}t_{i}}$	Menge gleichgewichtiger Zahlen mit ${\displaystyle {\stackrel {\sim }{_{gg}}}}$ für ${\displaystyle \sum _{i\in \{1,\ldots ,n\}}t_{i}}$
6	{6,25}
8	{10,49}
13	{27,35}
14	{22,169}${\displaystyle (169=13^{2},22=11*2)}$, siehe Primzahlzwillinge
15	{16,33}
16	{12,26}
17	{39,55}
19	{65,77}
20	{34,361}
21	{18,51,91}
22	{20,38}
23	{57,85}
25	{95,119,143}

Erstmalige Erwähnung

Gleichgewichtige Zahlen wurden erstmals von dem persischen Mathematiker Muhammad Baqir Yazdi um 1637 in seinem Werk ʿUyūn al-ḥisābʿ (persisch عيون نالحساب, deutsch „Das Auge des Rechnens“) definiert.^[1]

Literatur

• J. Sesiano: Two Problems of Number Theory in Islamic Times, Archive for History of Exact Sciences, Bd. 41, Nr. 3 (1991), S. 235–238 (englisch)
• Alireza Djafari Naini: Geschichte der Zahlentheorie im Orient im Mittelalter und zu Beginn der Neuzeit unter besonderer Berücksichtigung persischer Mathematiker, Verlag Klose & Co. Braunschweig 1982

Weblinks

• Michael Dorner: Zahlentheorie in der Schule, Kapitel Gleichgewichtige Zahlen, (abgerufen am 26. August 2020)

Einzelnachweise

1. Naini: Geschichte der Zahlentheorie im Orient, S. 61
2. Notation gemäß Naini: Geschichte der Zahlentheorie im Orient, S. 63
3. Naini: Geschichte der Zahlentheorie im Orient, S. 68