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mathematischer Satz Aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Der Fortsetzungssatz von Krein (englisch Krein's extension theorem) ist ein Lehrsatz des mathematischen Teilgebiets der Analysis, welcher auf eine von dem sowjetischen Mathematiker Mark Grigorjewitsch Krein (1907–1989) im Jahre 1937 vorgelegten Arbeit zurückgeht. Der Krein'sche Fortsetzungssatz gibt eine Antwort auf die Frage, unter welchen Bedingungen Fortsetzungen positiver linearer Funktionale auf reellen Vektorräumen möglich sind, und ist insofern verwandt mit (und dabei sogar herleitbar aus) dem Satz von Hahn-Banach. Wie dieser und andere Fortsetzungssätze der Mathematik stützt sich sein Beweis auf das Lemma von Zorn und benötigt damit die Annahme der Gültigkeit des Auswahlaxioms.[1][2]
Der Fortsetzungssatz von Krein kommt in zwei – miteinander jedoch eng verwandten – Formulierungen vor.
Die eine Formulierung des Fortsetzungssatzes hat der sowjetische Mathematiker Mark Neumark in seiner Monographie Normierte Algebren vorgelegt:[3]
Eine etwas andere Formulierung des Fortsetzungssatzes von Krein findet man in der Monographie Real and Abstract Analysis der beiden der US-amerikanischen Mathematiker Edwin Hewitt und Karl Robert Stromberg:[1]
Aus dem Krein'schen Fortsetzungssatz zieht man als unmittelbare Folgerung den folgenden Satz:[4]
Hewitt und Stromberg bezeichnen den Krein'sche Fortsetzungssatz explizit als Krein's extension theorem for nonnegative linear functionals.[5] In diesem Zusammenhang ist zu bemerken, dass man in der analytischen Fachliteratur statt von nichtnegativen linearen Funktionalen (o. ä.) nicht selten auch von positiven linearen Funktionalen (o. ä.) spricht. Gemeint sind in jedem Falle reellwertige lineare Funktionale auf dem gegebenen topologischen Vektorraum, welche die von dem konvexen Kegel induzierte Ordnungsstruktur monoton in die Ordnungsstruktur von übertragen.
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