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logisches "oder" Aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Disjunktion („Oder-Verknüpfung“, von lat. disiungere „trennen, unterscheiden, nicht vermengen“) und Adjunktion (von lat. adiungere, „anfügen, verbinden“) sind in der Logik die Bezeichnungen für zwei Typen von Aussagen, bei denen je zwei Aussagesätze durch ein ausschließendes oder oder durch ein nichtausschließendes oder verbunden sind:
Seltener gebrauchte Bezeichnungen für die Disjunktion lauten Alternative, Kontrajunktion, Bisubtraktion, Alternation und logische Summe. Die mehrdeutige Verwendung von „Disjunktion“ etc. ist auf die verschiedenen Rollen des natürlich-sprachlichen oder rückführbar. Die Teilaussagen einer Disjunktion (Adjunktion) werden Disjunkte (Adjunkte) genannt, das die Teilaussagen verknüpfende Wort („oder“) wird als Disjunktor (Adjunktor) bezeichnet.
Die nicht-ausschließende Disjunktion (auch Alternative, Adjunktion) ist eine zusammengesetzte Aussage vom Typ „A oder B (oder beides)“. Sie ist wahr, wenn mindestens eine der beiden beteiligten Aussagen wahr ist. Die Wahrheitstabelle der entsprechenden Wahrheitswertefunktion, der vel-Funktion (OR-Funktion eines Gatters) ist:
oder | ||
---|---|---|
wahr | wahr | wahr |
wahr | falsch | wahr |
falsch | wahr | wahr |
falsch | falsch | falsch |
Darstellungen sind A oder B
, A or B
, A .or. B
(Programmiersprachen, z. B. Fortran), (lies: "A summe B", nicht: "A plus B"), und, in der polnischen Notation, (hier ist der Großbuchstabe A der Operator, die Operanden werden in Kleinbuchstaben ausgedrückt). Die Verwendung des Pluszeichens für den Operator ist in älterer Literatur zu finden und auch wegen Verwechslungsgefahr mit der Addition unüblich geworden.
In der Notation einer Verknüpfung von Aussagen steht das Symbol (Unicode: U+2228, ∨) für die nicht-ausschließende Disjunktion als aussagenlogischen Junktor. Es ähnelt dem Zeichen für die Vereinigungsmenge und erinnert an den Buchstaben „v“, mit dem das lateinische Wort „vel“ anfängt, das für ein solches nicht-ausschließendes Oder steht.
Eine Disjunktion ist ein Boolescher Ausdruck, sie ist assoziativ und kommutativ.
Aus dem Gesagten folgt:
Die Aussage „Tom hilft beim Streichen oder Anna hilft beim Streichen“ besteht aus folgenden Teilen:
Keine der beiden Teilaussagen schließt hier die andere aus. Die Aussage ist falsch, wenn weder Tom noch Anna beim Streichen helfen, ansonsten wahr. Sie ist insbesondere auch wahr, wenn sowohl Tom als auch Anna beim Streichen helfen.
Die ausschließende Disjunktion (Kontravalenz, XOR) ist eine zusammengesetzte Aussage, bei der zwei Aussagen mit der Formulierung „entweder – oder (aber nicht beides)“ verknüpft werden, zum Beispiel die Aussage „Anna studiert entweder Französisch oder sie studiert Spanisch (aber nicht beides).“ Damit ausgeschlossen ist der Fall, dass beide Teilaussagen wahr sind – im Beispiel also der Fall, dass Anna sowohl Französisch als auch Spanisch studiert –, eben hierin besteht der Unterschied zur nicht-ausschließenden Disjunktion. Der lateinische Ausdruck für das ausschließende Oder lautet aut – aut.
Die Wahrheitstabelle für die aut-Funktion (XOR-Funktion eines Gatters) als Wahrheitswertefunktion der ausschließenden Disjunktion ist damit:
wahr | wahr | falsch |
wahr | falsch | wahr |
falsch | wahr | wahr |
falsch | falsch | falsch |
Aus einer Aussage A kann die Disjunktion A oder B geschlossen werden.[2][3]
Für die durch die Disjunktion zur bereits gegebenen Aussage A hinzugefügte Aussage B müssen keine vorherigen Voraussetzungen erfüllt sein, wie die folgende Beispielableitung zeigt.[4]
Zeile | Aussage | Regel |
---|---|---|
1 | Prämisse | |
2 | 1 (Einführung der Disjunktion) |
Zur Auflösung einer Disjunktion muss aus beiden Teilen der Disjunktion dieselbe Aussage hergeleitet werden können.[4]
Zeile | Aussage | Regel |
---|---|---|
1 | Prämisse | |
2 | Annahme | |
3 | (Und-Beseitigung) | |
4 | 2,3 (Implikations-Einfügung) | |
5 | Annahme | |
6 | 5 (Und-Beseitigung) | |
7 | 5,6 (Implikations-Einfügung) | |
8 | 1,4,7 (Disjunktions-Beseitigung) |
(Das Zeichen ∧ in der Tabelle bezeichnet die Konjunktion (Logik).)
In der Mengenlehre definiert man ein Element der Vereinigung zweier Mengen durch die Disjunktion
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