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Algebraische Zahl
komplexe Zahl, die Nullstelle eines Polynoms in einer Variable mit rationalen Koeffizienten vom Grad größer Null ist / aus Wikipedia, der freien encyclopedia
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In der Mathematik ist eine algebraische Zahl eine reelle oder komplexe Zahl, die Nullstelle eines Polynoms vom Grad größer als Null (nicht-konstantes Polynom)
![Die Quadratwurzel von 2 ist eine algebraische Zahl, und zwar die Länge der Hypotenuse eines gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecks mit Katheten der Länge 1.](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5c/Isosceles_right_triangle_with_legs_length_1.svg/320px-Isosceles_right_triangle_with_legs_length_1.svg.png)
mit rationalen Koeffizienten für
und
ist, also eine Lösung der Gleichung
.[1]
Die so definierten algebraischen Zahlen bilden eine echte Teilmenge der komplexen Zahlen
. Offenbar ist jede rationale Zahl
algebraisch, da sie die Gleichung
löst. Es gilt also
.
Ist eine reelle (oder allgemeiner komplexe) Zahl nicht algebraisch, so heißt sie transzendent.
Die ebenfalls gebräuchliche Definition der algebraischen Zahlen als Nullstellen von Polynomen mit ganzzahligen Koeffizienten ist äquivalent zur oben angegebenen:[2] Jedes Polynom mit rationalen Koeffizienten kann durch Multiplikation mit dem Hauptnenner der Koeffizienten in eines mit ganzzahligen Koeffizienten umgewandelt werden. Das entstehende Polynom hat dieselben Nullstellen wie das Ausgangspolynom.
Polynome mit rationalen Koeffizienten kann man normieren, indem man alle Koeffizienten durch den Koeffizienten dividiert. Nullstellen von normierten Polynomen, deren Koeffizienten ganzzahlig sind, nennt man ganzalgebraische Zahlen oder auch ganze algebraische Zahlen. Die ganzalgebraischen Zahlen bilden einen Unterring der algebraischen Zahlen, der aber nicht faktoriell ist.[3] Zum allgemeinen Begriff der Ganzheit siehe Ganzheit (kommutative Algebra).
Man kann den Begriff der algebraischen Zahl zu dem des algebraischen Elements erweitern, indem man die Koeffizienten des Polynoms statt aus aus einem beliebigen Körper entnimmt.