Gleichheitszeichen

Dieser Artikel behandelt das Gleichheitszeichen. Zum Album siehe = (Album).

Das Gleichheitszeichen (=, auch Ist-gleich-Zeichen genannt^[1]) steht in der Mathematik, der formalen Logik und in den exakten Naturwissenschaften zwischen zwei in ihrem Wert gleichen Ausdrücken.

=
Mathematische Zeichen
Arithmetik
Pluszeichen	+
Minuszeichen	−, ⁒
Malzeichen	⋅, ×
Geteiltzeichen	:, ÷, /
Plusminuszeichen	±, ∓
Vergleichszeichen	<, ≤, =, ≥, >
Wurzelzeichen	√
Prozentzeichen	%
Analysis
Summenzeichen	Σ
Produktzeichen	Π
Differenzzeichen, Nabla	∆, ∇
Prime	′
Partielles Differential	∂
Integralzeichen	∫
Verkettungszeichen	∘
Unendlichzeichen	∞
Geometrie
Winkelzeichen	∠, ∡, ∢, ∟
Senkrecht, Parallel	⊥, ∥
Dreieck, Viereck	△, □
Durchmesserzeichen	⌀
Mengenlehre
Vereinigung, Schnitt	∪, ∩
Differenz, Komplement	∖, ∁
Elementzeichen	∈
Teilmenge, Obermenge	⊂, ⊆, ⊇, ⊃
Leere Menge	∅
Logik
Folgepfeil	⇒, ⇔, ⇐
Allquantor	∀
Existenzquantor	∃
Konjunktion, Disjunktion	∧, ∨
Negationszeichen	¬

Geschichte

Einführung des Gleichheitszeichens 1557, gefolgt von „14x + 15 = 71“ als der ersten gedruckten Gleichung^[2]

In der antiken und mittelalterlichen Mathematik^[3] wurde die Gleichheit zweier Ausdrücke noch wörtlich (z. B. est egale für „ist gleich“) hingeschrieben. Descartes (1596–1650) kürzte dies durch das Zeichen ᴂ – also durch ein um 180° gedrehtes æ (für lat. aequalis) ab, wobei in der Folgezeit der Querstrich mehr und mehr weggelassen wurde und es sich zu einem gespiegelten ∝ veränderte.^[4][5]

Als Begründer des modernen Gleichheitszeichens gilt der walisische Mathematiker Robert Recorde (1510–1558) mit seiner Schrift The Whetstone of Witte (1557), dt. Der Wetzstein des Wissens. Er begründete die zwei parallelen Striche für ein Gleichheitssymbol durch den frühneuenglischen Satz … bicause noe.2.thynges,can be moare equalle. (heutiges Englisch: because no two things can be more equal, „weil keine zwei Dinge gleicher sein können“).^[6]

Die Einführung des in England bereits verwendeten = erfolgte auf dem europäischen Kontinent vermutlich erst durch Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716).

Darstellung

Das Gleichheitszeichen wird ASCII mit 61 (dezimal) kodiert, damit als Unicode U+003D (61 dezimal = 3D hexadezimal). Es kann in HTML durch =, = oder = ersetzt werden.

Verwendung

Allgemeine Verwendung

Die Glyphe = wird allgemein zur Darstellung von Sachverhalten der Entsprechung, Gleichheit oder Identität, in Mathematik, Informatik und Technik auch der Zuweisung im Sinne einer nachfolgenden Gleichverwendung eingesetzt.

Das Gleichheitszeichen wird häufig als Ersatzzeichen des Doppelbindestrichs ⹀ (U+2E40) bzw. dessen japanischer Variante (U+30A0) verwendet.

In der Elektrotechnik dient das Gleichheitszeichen zur Kennzeichnung für Gleichspannung.

Das Gleichheitszeichen und seine Abwandlungen

Es gibt auch abgewandelte Formen mit anderer Bedeutung:

• Das Entspricht-Zeichen ( ≙ )
• Das Rundungszeichen ( ≈ ) mit der Bedeutung ungefähr gleich / gerundet.
• Das Ungleichheitszeichen ( ≠ ) ist ein durchgestrichenes Gleichheitszeichen und wird eingesetzt, wenn die Ungleichheit zweier Zahlen dargestellt werden soll.
• Das Identisch-Zeichen ( ≡ ) ist eine Form mit drei waagerechten Strichen und wird eingesetzt, wenn zwei arithmetische Ausdrücke identisch sind.
• Abwandlungen mit Doppelpunkt ( := ) und ( =: ) werden in der Mathematik benutzt, um eine Definition einer Seite durch die andere Seite darzustellen. Dabei stehen die Doppelpunkte immer bei dem zu definierenden Objekt. Das früher dafür verwendete ≡ soll in diesem Sinne nicht mehr verwendet werden (DIN 1302), aber Formen wie ${\displaystyle {=}_{\mathrm {def} }}$ (DIN 1302) oder ${\displaystyle {}{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}}$ (ISO 31-11) sind möglich.^[7]

Beispielsweise kann man die Menge A folgendermaßen definieren:

${\displaystyle A\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \{2;4;7;9\}\ \mathrm {oder} \ A:=\{2;4;7;9\}\ \mathrm {oder} \ \{2;4;7;9\}=:A}$.

In Programmiersprachen, die von C abgeleitet sind, wird das (einfache) Gleichheitszeichen für die Wertzuweisung verwendet. Als Vergleichsoperator hingegen dient in diesen Sprachen meistens ein doppeltes Gleichheitszeichen ( == ). In Fortran wird .EQ. für den Vergleichsoperator verwendet. In Sprachen der Pascal-Familie wiederum wird ein := für die Zuweisung verwendet (im Vorläufer Algol 60 diese Zeichenkombination oder auch ein „ ← “) und das Gleichheitszeichen als Vergleichsoperator. Es gibt auch Sprachen, wie z. B. BASIC, in denen es vom Kontext her stets eindeutig ist, ob es sich um eine Zuweisung oder einen Vergleich handelt, und die deshalb das Gleichheitszeichen sowohl für den Zuweisungs- als auch den Vergleichsoperator benutzen.

Ungleichheitszeichen

Da das Zeichen für Ungleichheit ≠ nicht im ASCII-Zeichensatz verfügbar ist, verwenden verschiedene Programmiersprachen Digraphen wie <> (Pascal, BASIC), /= (Ada), != (C, C++) oder ~= (ML); Fortran verwendet .NE. (englisch: not equal, nicht gleich).

Mathematische Äquivalenzzeichen

Z.	Unicode	Unicode dezimal	Bedeutung	Beschreibung		Z.	Unicode	Unicode dezimal	Bedeutung	Beschreibung
=	U+003D	61	gleich			≠	U+2260	8800	ungleich; nicht gleich⁠(1)
≡	U+2261	8801	kongruent, identisch			≢	U+2262	8802	nicht kongruent⁠(1)
≐	U+2250	8784	Grenzwertannäherung
≃	U+2243	8771	asymptotisch gleich			≄	U+2244	8772	asymptotisch ungleich⁠(1)
≂	U+2242	8770		Minustilde
≅	U+2245	8773	ungefähr gleich (angloamerikan., nach DIN nur für asymptotisch gleich (≃) zulässig)			≆	U+2246	8774	ungefähr, aber nicht genau gleich
						≇	U+2247	8775	weder ungefähr noch genau gleich
${\displaystyle \cong }$			isomorph, kategorientheoretisch isomorph
≊	U+224A	8778	ungefähr gleich oder gleich
≈	U+2248	8776	ungefähr gleich / gerundet (ugs.: fast gleich)	Doppeltilde		≉	U+2249	8777	nicht ungefähr gleich (ugs.: nicht fast gleich)	Doppeltilde durchgestrichen
≋	U+224B	8779		Dreifachtilde
≗	U+2257	8791	ungefähr gleich
≒	U+2252	8786	ungefähr gleich oder Bild			≓	U+2253	8787	Bild oder ungefähr gleich
≌	U+224C	8780	alles gleich
≍	U+224D	8781	äquivalent
≣	U+2263	8803	genau äquivalent
≎	U+224E	8782	geometrisch äquivalent
≏	U+224F	8783	Differenz zwischen
≑	U+2251	8785	geometrisch gleich
≚	U+225A	8794	gleichwinklig
≔	U+2254	8788	ergibt sich aus (für Definition linksseitig (:=) nicht vorgesehen)			≕	U+2255	8789	ergibt sich nicht aus (für Definition rechtsseitig (=:) nicht vorgesehen)
≜	U+225C	8796	gleich nach Definition
≝	U+225D	8797
${\displaystyle$ :=}			Definition linksseitig	Doppelpunkt + Gleichheitszeichen		${\displaystyle =:}$			Definition rechtsseitig	Gleichheitszeichen + Doppelpunkt
${\displaystyle {\stackrel {!}{=}}}$			soll gleich (beispielsweise in Beweiseinleitungen)
≙	U+2259	8793	entspricht
≘	U+2258	8792	entspricht (unüblich)
≞	U+225E	8798	gemessen
≟	U+225F	8799	vielleicht gleich
≛	U+225B	8795		Stern ist gleich
≖	U+2256	8790		Kreis in Gleichheitszeichen

⁠⁽¹⁾ DIN 1302 schreibt senkrechte Durchstreichung vor, erlaubt aber das schräge Durchstreichen, „wenn es aus satztechnischen Gründen notwendig ist“. ISO 31 lässt beide Formen generell zu.^[7]

Weblinks

Wiktionary: Gleichheitszeichen – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise

1. … und „Istgleichzeichen“ geschrieben; siehe auch im DWDS, unter Gleichheitszeichen, ebenda auch mit „Istgleichzeichen“ (abgerufen am 15. November 2018).
2. Robert Recorde: The Whetstone of Witte. London 1557, S. 238.
3. Matthias Helle: =. In: FU Berlin, Institut für Informatik (Hrsg.): Seminar Geschichte der mathematischen Notation. 1999 (fu-berlin.de; Skriptum zum Vortrag vom 21. Juli 1999).
4. Heinz Klaus Strick: Mathematik – einfach genial!: Bemerkenswerte Ideen und Geschichten von Pythagoras bis Cantor. Springer-Verlag, 2020, ISBN 978-3-662-60449-6, S. 172 (google.com [abgerufen am 25. September 2022]).
5. Alexander J. Hahn: Calculus in Context: Background, Basics, and Applications. JHU Press, 2017, ISBN 978-1-4214-2230-5, S. 128 (google.com [abgerufen am 25. September 2022]).
6. Gleichheitszeichen. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8.
7. Hans Friedrich Ebel, Claus Bliefert, Walter Greulich: Schreiben und Publizieren in den Naturwissenschaften. Wiley-VCH, 2006, ISBN 978-3-527-30802-6, 6.5.4 Häufig vorkommende Sonderzeichen, S. 352 ff. (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).