Sinusrelation

Sinusrelationen er en matematisk formel inden for trigonometrien, der sammenfatter længden af en trekants sider og størrelsen af dens vinkler i et regneudtryk: Dividerer man længden af en side med sinus til den modstående vinkel, får man samme forholdstal for alle tre "par" af sider og modstående vinkler. Almindeligvis kaldes siderne for a, b og c og deres modstående vinkler for hhv. A, B og C, og med den notation ser formlen således ud:

${\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R}$

En vilkårlig trekant

hvor R er radius i trekantens omskrevne cirkel.

Til beregning af vinklerne i en trekant kan denne omskrivning bruges:

${\displaystyle {\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}}}$

Bemærk at sinusrelationen gælder for alle trekanter.^[1]

Formlen kan bruges til at finde enten sidelængder eller vinkler i en trekant ved at lave en ligning ud af to af de tre brøker, og isolere enten en side eller en vinkel på den ene side af lighedstegnet. I sidstnævnte tilfælde fås, at sinus til en vinkel er lig med en given størrelse – og sådan en ligning har to principale løsninger: en stump eller en spids vinkel. Da det gælder, at ${\displaystyle \sin(180-v)=\sin(v)}$ kan man ikke se forskel på stump eller spids, og der kan være to løsninger til trekanten. Derfor bruges sinusrelationen kun til at bestemme vinkler i trekanter, hvor cosinusrelationerne eller andre formler ikke giver entydige løsninger.

Bevis for sinusrelationerne

Der findes tre formler for udregning af areal i vilkårlige trekanter, som alle er lig T. (se trekant) Disse må derfor nødvendigvis være lig hinanden.^[2]

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\cdot {b}\cdot {c}\cdot {\sin A}={\frac {1}{2}}\cdot {a}\cdot {c}\cdot {\sin B}={\frac {1}{2}}\cdot {a}\cdot {b}\cdot {\sin C}}$

Der divideres med ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\cdot {a}\cdot {b}\cdot {c}}$ på alle sider af lighedstegnene:

${\displaystyle {\frac {{\frac {1}{2}}\cdot {b}\cdot {c}\cdot {\sin A}}{{\frac {1}{2}}\cdot {a}\cdot {b}\cdot {c}}}={\frac {{\frac {1}{2}}\cdot {a}\cdot {c}\cdot {\sin B}}{{\frac {1}{2}}\cdot {a}\cdot {b}\cdot {c}}}={\frac {{\frac {1}{2}}\cdot {a}\cdot {b}\cdot {\sin C}}{{\frac {1}{2}}\cdot {a}\cdot {b}\cdot {c}}}}$

Dette resulterer i:

${\displaystyle {\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}}}$

Sinusrelationen for sfæriske trekanter

For sfæriske trekanter på en kugleoverflade gælder en tilsvarende sinusrelation:^[3]

${\displaystyle {\frac {\sin A}{\sin a}}={\frac {\sin B}{\sin b}}={\frac {\sin C}{\sin c}}}$

Da det gælder for sinus-funktionen at

${\displaystyle \lim _{a\rightarrow 0}{\frac {\sin a}{a}}=1}$

ses at den sfæriske sinusrelation vil tilnærme sig den sædvanlige sinusrelation når sidelængderne går mod 0, svarende til den sfæriske trekants krumning aftager.

Se også

• Sinus (matematik)
• Trekant
• Trekanttilfælde
  • Retvinklet trekant
• Cosinusrelation
• Sfærisk trigonometri

Bøger

• Holth, Klaus m.fl. (1987): Matematik Grundbog 1. Forlaget Trip, Vejle. ISBN 87-88049-18-3
• Schultz, Jonny (1990): Matematik højniveau 1 - plangeometri og rumgeometri. Forlaget Trip, Vejle. ISBN 87-88049-16-7

Kilder/referencer

1. Holth (1987) s. 59
2. Gyldendals Gymnasiematematik Grundbog B1, 1. udgave, 4. oplag 2006 ISBN 87-02-03327-5.
3. Schultz (1990) s. 108

Eksterne henvisninger

CosSinCalc – Et online-værktøj, der udregner siderne og vinklerne på en trekant for dig.