Laplace' ligning

Inden for matematik og fysik er Laplace' ligning en andenordens partiel differentialligning, der er opkaldt efter Pierre-Simon Laplace, som var den første, der undersøgte dens egenskaber. Den skrives ofte som:

${\displaystyle \nabla ^{2}\!f=0\qquad {\mbox{or}}\qquad \Delta f=0,}$

Pierre-Simon Laplace der har lagt navn til ligningen.

hvor ${\displaystyle \Delta =\nabla \cdot \nabla =\nabla ^{2}}$ er Laplace-operatoren,^{[lower-alpha 1]} og ${\displaystyle f(x,y,z)}$ er en multivariabel og dobbelt-differentierbar reel funktion. Laplace-operatoren afbilder altså én skalarfunktion til en anden skalarfunktion.

Hvis højre side i stedet er en ny funktion ${\displaystyle h(x,y,z)}$, fås:

${\displaystyle \Delta f=h}$

og ligningen kaldes da for Poisson-ligningen, der er en generalisering af Laplace' ligning. Laplace' liging og Poisson-lignigen er de simpleste eksempler på elliptiske partielle differentialligninger. Laplace' ligning er også et særtilfælde af Helmholtz' ligning.

Den generelle teori til løsning af Laplace' ligning kaldes potentialteori. Løsningerne til Laplace' ligning er harmoniske funktioner,^[1] der er vigtige inden for adskillige grene af fysik og især elektrostatik, gravitation og fluiddynamik. I studiet af varmestrømme er varmeledningsligningen ved steady state et eksempel på Laplace' ligning.^[2] Overordnet beskriver Laplace' ligning systemer, som er i ligevægt eller eksplicit afhænger af tiden.

Noter

1. Deltasymbolet, Δ, bruges ofte til at repræsentere en endelige ændring i en kvantitet, eksempelvis ${\displaystyle \Delta x=x_{1}-x_{2}}$. Dens brug i Laplace' ligning skal ikke forveksles med dette.

Referencer

1. Stewart, James. Calculus : Early Transcendentals. 7th ed., Brooks/Cole, Cengage Learning, 2012. Chapter 14: Partial Derivatives. p. 908. ISBN 978-0-538-49790-9.
2. Zill, Dennis G, and Michael R Cullen. Differential Equations with Boundary-Value Problems. 8th edition / ed., Brooks/Cole, Cengage Learning, 2013. Chapter 12: Boundary-value Problems in Rectangular Coordinates. p. 462. ISBN 978-1-111-82706-9.

Eksterne henvisninger

• Laplace Equation (particular solutions and boundary value problems) at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Example initial-boundary value problems using Laplace's equation from exampleproblems.com.
• Find out how boundary value problems governed by Laplace's equation may be solved numerically by boundary element method Arkiveret 7. februar 2012 hos Wayback Machine