DA
All
Articles
Dictionary
Quotes
Map

Wikiwand ❤️ Wikipedia

PrivacyTerms
Elastisk pendul

Elastisk pendul

En masse der hænger i en svingende fjeder. From Wikipedia, the free encyclopedia

Elastisk pendul
ModelleringLagrangenBevægelsesligningerneKildehenvisningerYderligere litteraturEksterne henvisninger

Et elastisk pendul består af en masse, der hænger i en fjeder, som svinger. Hver for sig giver en lille pendulsvingning og en oscillerende fjeder begge approksimativt simple harmoniske bevægelser, men kombinationen giver et mere kompliceret system. Et eksempel på et elastisk pendul er en person, der svinger i en elastik i forbindelse med elastikspring.[1]

Ikke at forveksle med et fjederpendul.
Thumb
Elastisk pendul.
Bevægelse af et elastisk pendul - du kan se effekten af overlappende vibrationer med forskellige frekvenser (en sammensætning af vibrationerne fra et simpelt pendul og et fjederpendul).

For at modellere pendulet kan det betragtes som et to-dimensionelt system med to frihedsgrader. Fjederen har hvilelængden l 0 {\displaystyle l_{0}} {\displaystyle l_{0}} og kan strækkes med størrelsen x {\displaystyle x} {\displaystyle x}. Pendulets svingningsvinkel er θ {\displaystyle \theta } {\displaystyle \theta }. Problemet hører dermed under klassisk mekanik. I det nedenstående er Lagrange-formalismen anvendt, hvor en Lagrange først opstilles, hvorefter Euler-Lagrange-ligningerne kan bruges til at finde bevægelsesligningerne for systemet.

Lagrangen

En model for det elastisk pendul kan laves med udgangspunkt i systemets Lagrange L {\displaystyle L} {\displaystyle L}:

L = T − V {\displaystyle L=T-V} {\displaystyle L=T-V}

hvor T {\displaystyle T} {\displaystyle T} er den kinetiske energi, og V {\displaystyle V} {\displaystyle V} er den potentielle energi.

Jf. Hookes lov er den potentielle energi i selve fjederen:

V k = 1 2 k x 2 {\displaystyle V_{k}={\frac {1}{2}}kx^{2}} {\displaystyle V_{k}={\frac {1}{2}}kx^{2}}

hvor k {\displaystyle k} {\displaystyle k} er fjederkonstanten.

Den potentielle energi fra tyngdekraften er derimod bestemt af massens højde. For en given vinkel og udstrækning er den potentielle energi:

V g = − g m ( l 0 + x ) cos ⁡ θ {\displaystyle V_{g}=-gm(l_{0}+x)\cos \theta } {\displaystyle V_{g}=-gm(l_{0}+x)\cos \theta }

hvor g {\displaystyle g} {\displaystyle g} er tyngdeaccelerationen.

Den kinetiske energi er givet ved:

T = 1 2 m v 2 {\displaystyle T={\frac {1}{2}}mv^{2}} {\displaystyle T={\frac {1}{2}}mv^{2}}

hvor v {\displaystyle v} {\displaystyle v} er massens fart. For at relatere v {\displaystyle v} {\displaystyle v} til de andre variable, skrives farten som en kombination af en bevægelse langs med og vinkelret på fjederen:

T = 1 2 m ( x ˙ 2 + ( l 0 + x ) 2 θ ˙ 2 ) {\displaystyle T={\frac {1}{2}}m({\dot {x}}^{2}+(l_{0}+x)^{2}{\dot {\theta }}^{2})} {\displaystyle T={\frac {1}{2}}m({\dot {x}}^{2}+(l_{0}+x)^{2}{\dot {\theta }}^{2})}

Lagrangen bliver altså:[1]

L = T − V k − V g {\displaystyle L=T-V_{k}-V_{g}} {\displaystyle L=T-V_{k}-V_{g}}
L [ x , x ˙ , θ , θ ˙ ] = 1 2 m ( x ˙ 2 + ( l 0 + x ) 2 θ ˙ 2 ) − 1 2 k x 2 + g m ( l 0 + x ) cos ⁡ θ {\displaystyle L[x,{\dot {x}},\theta ,{\dot {\theta }}]={\frac {1}{2}}m({\dot {x}}^{2}+(l_{0}+x)^{2}{\dot {\theta }}^{2})-{\frac {1}{2}}kx^{2}+gm(l_{0}+x)\cos \theta } {\displaystyle L[x,{\dot {x}},\theta ,{\dot {\theta }}]={\frac {1}{2}}m({\dot {x}}^{2}+(l_{0}+x)^{2}{\dot {\theta }}^{2})-{\frac {1}{2}}kx^{2}+gm(l_{0}+x)\cos \theta }

Bevægelsesligningerne

Thumb
Simulation af det elastiske pendul. Øverst til venstre er de polære koordinater.

Med to frihedsgrader - for x {\displaystyle x} {\displaystyle x} og θ {\displaystyle \theta } {\displaystyle \theta } - kan bevægelsesligningerne findes vha. to Euler-Lagrange-ligninger:

∂ L ∂ x − d d ⁡ t ∂ L ∂ x ˙ = 0 {\displaystyle {\partial L \over \partial x}-{\operatorname {d} \over \operatorname {d} t}{\partial L \over \partial {\dot {x}}}=0} {\displaystyle {\partial L \over \partial x}-{\operatorname {d} \over \operatorname {d} t}{\partial L \over \partial {\dot {x}}}=0}
∂ L ∂ θ − d d ⁡ t ∂ L ∂ θ ˙ = 0 {\displaystyle {\partial L \over \partial \theta }-{\operatorname {d} \over \operatorname {d} t}{\partial L \over \partial {\dot {\theta }}}=0} {\displaystyle {\partial L \over \partial \theta }-{\operatorname {d} \over \operatorname {d} t}{\partial L \over \partial {\dot {\theta }}}=0}

For x {\displaystyle x} {\displaystyle x}:[1]

m ( l 0 + x ) θ ˙ 2 − k x + g m cos ⁡ θ − m x ¨ = 0 {\displaystyle m(l_{0}+x){\dot {\theta }}^{2}-kx+gm\cos \theta -m{\ddot {x}}=0} {\displaystyle m(l_{0}+x){\dot {\theta }}^{2}-kx+gm\cos \theta -m{\ddot {x}}=0}

x ¨ {\displaystyle {\ddot {x}}} {\displaystyle {\ddot {x}}} isoleres:

x ¨ = ( l 0 + x ) θ ˙ 2 − k m x + g cos ⁡ θ {\displaystyle {\ddot {x}}=(l_{0}+x){\dot {\theta }}^{2}-{\frac {k}{m}}x+g\cos \theta } {\displaystyle {\ddot {x}}=(l_{0}+x){\dot {\theta }}^{2}-{\frac {k}{m}}x+g\cos \theta }

Og for θ {\displaystyle \theta } {\displaystyle \theta }:[1]

− g m ( l 0 + x ) sin ⁡ θ − m ( l 0 + x ) 2 θ ¨ − 2 m ( l 0 + x ) x ˙ θ ˙ = 0 {\displaystyle -gm(l_{0}+x)\sin \theta -m(l_{0}+x)^{2}{\ddot {\theta }}-2m(l_{0}+x){\dot {x}}{\dot {\theta }}=0} {\displaystyle -gm(l_{0}+x)\sin \theta -m(l_{0}+x)^{2}{\ddot {\theta }}-2m(l_{0}+x){\dot {x}}{\dot {\theta }}=0}

θ ¨ {\displaystyle {\ddot {\theta }}} {\displaystyle {\ddot {\theta }}} isoleres:

θ ¨ = − g l 0 + x sin ⁡ θ − 2 x ˙ l 0 + x θ ˙ {\displaystyle {\ddot {\theta }}=-{\frac {g}{l_{0}+x}}\sin \theta -{\frac {2{\dot {x}}}{l_{0}+x}}{\dot {\theta }}} {\displaystyle {\ddot {\theta }}=-{\frac {g}{l_{0}+x}}\sin \theta -{\frac {2{\dot {x}}}{l_{0}+x}}{\dot {\theta }}}

Fjerderpendulet er nu beskrevet med to koblede differentialligninger. Disse kan løses numerisk.

For en lille vinkel kan de trigonometriske funktioner simplificeres, og differentialligningerne bliver da:

x ¨ = ( l 0 + x ) θ ˙ 2 − k m x + g θ ¨ = − g l 0 + x θ − 2 x ˙ l 0 + x θ ˙ {\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {x}}&=(l_{0}+x){\dot {\theta }}^{2}-{\frac {k}{m}}x+g\\{\ddot {\theta }}&=-{\frac {g}{l_{0}+x}}\theta -{\frac {2{\dot {x}}}{l_{0}+x}}{\dot {\theta }}\end{aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {x}}&=(l_{0}+x){\dot {\theta }}^{2}-{\frac {k}{m}}x+g\\{\ddot {\theta }}&=-{\frac {g}{l_{0}+x}}\theta -{\frac {2{\dot {x}}}{l_{0}+x}}{\dot {\theta }}\end{aligned}}}

Det ses, at differentialligningerne reduceres yderligere til henholdsvis et fjederpendul og et matematisk pendul, hvis det første-afledte led fjernes. Det svarer til, at pendulet ikke længere svinger til siden eller ikke er elastisk.

  1. [1]
    Xiao, Qisong; et al., Dynamics of the Elastic Pendulum (PDF), University of Arizona, s. 10-11, 14, arkiveret (PDF) fra originalen 20. september 2018, hentet 24. april 2019 {{citation}}: Eksplicit brug af et al. i: |forfatter2= (hjælp)
  • Pokorny, Pavel (2008). "Stability Condition for Vertical Oscillation of 3-dim Heavy Spring Elastic Pendulum". Regular and Chaotic Dynamics. 13 (3): 155-165. Bibcode:2008RCD....13..155P. doi:10.1134/S1560354708030027. pdf Arkiveret 10. august 2017 hos Wayback Machine or pdf Arkiveret 22. april 2019 hos Wayback Machine
  • Pokorny, Pavel (2009). "Continuation of Periodic Solutions of Dissipative and Conservative Systems: Application to Elastic Pendulum". Mathematical Problems in Engineering. 2009: 1-15. doi:10.1155/2009/104547.
  • Oscillations of an Elastic Pendulum Arkiveret 25. marts 2019 hos Wayback Machine - interaktiv simulation fra Wolfram Research
Edit in WikipediaRevision historyRead in Wikipedia

Wikiwand in your browser!

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.

Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.

Chrome
Wikiwand for Chrome
Edge
Wikiwand for Edge
Firefox
Wikiwand for Firefox

Modellering

Kildehenvisninger

Yderligere litteratur

Eksterne henvisninger