Chi i anden-fordelingen

I sandsynlighedsregning og statistik er chi i anden-fordelingen (også kaldet chi kvadreret-fordelingen^{[kilde mangler]} eller χ²-fordelingen) med k frihedsgrader fordelingen af en sum af k kvadrerede uafhængige normalfordelte stokastiske variable med middelværdi 0 og varians 1. Det er et specialtilfælde af en gammafordeling og en af de mest brugte sandsynlighedsfordeling inden for statistisk, dvs. i hypotesetest eller i skabelsen af konfidensintervaller.^[1][2][3][4] Da der skelnes mellem den mere generelle ikke-central chi i anden-fordeling, kaldes denne fordeling nogle gange central chi i anden-fordeling'.

Grafer over frekvensfunktionerne (også kaldet tæthedsfunktioner) for chi i anden-fordelingen for udvalgte k-værdier.

Chi i anden-fordelingen bruges ofte i chi i anden-test til chi-fordeling af en observeret fordeling til en teoretisk fordeling, til uafhængighed af to kriterier til klassificeringen af kvalitativ data og til estimater af konfidensinterval for populationers standardafvigelse fra en normalfordeling af en normalt fordelt prøve. Mange andre statistiske tests benytter også denne fordeling, heriblandt Friedmans analyse af varians.

Definition

Grafer over fordelingsfunktionerne for udvalgte k-værdier

Hvis Z₁, ..., Z_k er uafhængige, standard normalfordelte stokastiske variable, da vil summen af deres kvadrater

${\displaystyle Q\ =\sum _{i=1}^{k}Z_{i}^{2},}$

være fordelt ved chi i anden-fordelingen med k frihedsgrader. Dette skrives normalt som

${\displaystyle Q\ \sim \ \chi ^{2}(k)\ \ {\text{or}}\ \ Q\ \sim \ \chi _{k}^{2}.}$

Chi i anden-fordelingen har en parameter: k — et positivt tal der specificerer antallet af frihedsgrader (dvs. antallet af Z_i’er)

Tabel over χ2-værdi vs p-værdi

p-værdi er sandsynligheden for statistisk at observere en test hvor det mindst vil optræde én observation i en chi i anden-fordeling. Da fordelingsfunktionen for det pågældende antal frihedsgrader giver sandsynligheden for at få en værdi der er mindre end ekstremet ved dette sted, minus fordelingsfunktionens værdi fra 1 giver p-værdien. Tabellen herunder giver et antal p-værdier der matcher χ² for de første 10 frihedsgrader.

En lav p-værdi indikerer støre statistisk signifikans, altså en større sandsynlighed for at observere en bestemt afvigelse fra nulhypotesen. En p-værdi på 0.05 bliver ofte anvendt som grænsen mellem at være signifikant og ikke signifikante resultater.

Frihedsgrader (df)	χ2 værdi[5]
1	0.004	0.02	0.06	0.15	0.46	1.07	1.64	2.71	3.84	6.64	10.83
2	0.10	0.21	0.45	0.71	1.39	2.41	3.22	4.60	5.99	9.21	13.82
3	0.35	0.58	1.01	1.42	2.37	3.66	4.64	6.25	7.82	11.34	16.27
4	0.71	1.06	1.65	2.20	3.36	4.88	5.99	7.78	9.49	13.28	18.47
5	1.14	1.61	2.34	3.00	4.35	6.06	7.29	9.24	11.07	15.09	20.52
6	1.63	2.20	3.07	3.83	5.35	7.23	8.56	10.64	12.59	16.81	22.46
7	2.17	2.83	3.82	4.67	6.35	8.38	9.80	12.02	14.07	18.48	24.32
8	2.73	3.49	4.59	5.53	7.34	9.52	11.03	13.36	15.51	20.09	26.12
9	3.32	4.17	5.38	6.39	8.34	10.66	12.24	14.68	16.92	21.67	27.88
10	3.94	4.87	6.18	7.27	9.34	11.78	13.44	15.99	18.31	23.21	29.59
P value (Probability)	0.95	0.90	0.80	0.70	0.50	0.30	0.20	0.10	0.05	0.01	0.001

Disse værdier kan beregnes ved hjælp af kvartilfunktionen (den omvendte funktion til fordelingsfunktionen) til chi i anden-fordelingen.^[6].

Referencer

1. Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [June 1964]. "Chapter 26". Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Applied Mathematics Series. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first ed.). Washington D.C., USA; New York, USA: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. p. 940. ISBN 0-486-61272-4. LCCN 64-60036. MR 0167642. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 65-12253.
2. NIST (2006). Engineering Statistics Handbook - Chi-Squared Distribution
3. Jonhson, N. L.; Kotz, S.; Balakrishnan, N. (1994). "Chi-Squared Distributions including Chi and Rayleigh". Continuous Univariate Distributions. Vol. 1 (Second udgave). John Willey and Sons. s. 415-493. ISBN 0-471-58495-9.
4. Mood, Alexander; Graybill, Franklin A.; Boes, Duane C. (1974). Introduction to the Theory of Statistics (Third udgave). McGraw-Hill. s. 241–246. ISBN 0-07-042864-6.
5. Chi-Squared Test Arkiveret 18. november 2013 hos Wayback Machine Table B.2. Dr. Jacqueline S. McLaughlin at The Pennsylvania State University. In turn citing: R.A. Fisher and F. Yates, Statistical Tables for Biological Agricultural and Medical Research, 6th ed., Table IV
6. R Tutorial: Chi-squared Distribution

Litteratur

• Hald, Anders (1998). A history of mathematical statistics from 1750 to 1930. New York: Wiley. ISBN 0-471-17912-4.
• Elderton, William Palin (1902). "Tables for Testing the Goodness of Fit of Theory to Observation". Biometrika. 1 (2): 155-163. doi:10.1093/biomet/1.2.155.
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Chi-squared distribution", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4