Beltrami-identiteten

Beltrami-identiteten er inden for variationsregning en forsimpling af Euler-Lagrange-ligningen.

Identiteten

For et variationsproblem på formen:

${\displaystyle \delta \int L[y,{\dot {y}},x]dx=0}$

hvor

${\displaystyle {\dot {y}}\equiv {\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}x}}}$

er den generelle løsning en Euler-Lagrange-ligning:

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial y}}-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {y}}}}\right)=0}$

Hvis ${\displaystyle L}$ ikke eksplicit afhænger af ${\displaystyle x}$, reducerer ligningen til den simplere Beltrami-identitet:

${\displaystyle L-{\dot {y}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {y}}}}=C}$

hvor ${\displaystyle C}$ er en konstant.

Udledning

At ${\displaystyle L}$ ikke eksplicit afhænger af ${\displaystyle x}$, betyder, at den partielt afledte mht. ${\displaystyle x}$ er 0:

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial x}}=0}$

Den almindelige afledte

${\displaystyle {\frac {{\text{d}}L}{{\text{d}}x}}={\dot {y}}{\frac {\partial L}{\partial y}}+{\ddot {y}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {y}}}}+{\frac {\partial L}{\partial x}}}$

er da givet ved:

${\displaystyle {\frac {{\text{d}}L}{{\text{d}}x}}={\dot {y}}{\frac {\partial L}{\partial y}}+{\ddot {y}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {y}}}}}$

Dette kan omarrangeres:

${\displaystyle {\dot {y}}{\frac {\partial L}{\partial y}}={\frac {{\text{d}}L}{{\text{d}}x}}-{\ddot {y}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {y}}}}}$

Tilsvarende kan Euler-Lagrange-ligningen ganges med ${\displaystyle {\dot {y}}}$:

${\displaystyle {\dot {y}}{\frac {\partial L}{\partial y}}-{\dot {y}}{\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {y}}}}\right)=0}$

Udtrykket for det første led kan indsættes:

${\displaystyle {\frac {{\text{d}}L}{{\text{d}}x}}-{\ddot {y}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {y}}}}-{\dot {y}}{\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {y}}}}\right)=0}$

Det er det samme som:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {{\text{d}}L}{{\text{d}}x}}-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}\left({\dot {y}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {y}}}}\right)&=0\\{\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}\left(L-{\dot {y}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {y}}}}\right)&=0\end{aligned}}}$

Siden den afledte er nul, må udtrykket være lig med en konstant ${\displaystyle C}$:

${\displaystyle L-{\dot {y}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {y}}}}=C}$

Dermed er Beltrami-identiteten udledt.^[1]

Anvendelse

Inden for analytisk mekanik i fysik er ${\displaystyle L}$ Lagrangen, mens konstanten er den negative Hamilton ${\displaystyle H}$:

${\displaystyle H=-C={\dot {y}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {y}}}}-L}$

Den afledte Lagrange kaldes for den generaliserede impuls ${\displaystyle p}$:

${\displaystyle p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {y}}}}}$

${\displaystyle x}$ repræsenterer tiden, hvilket vil sige, at Hamiltonen for et system er bevaret, hvis Lagrangen ikke eksplicit afhænger af tiden.^[2]