Gofod Euclidaidd

Mewn geometreg, mae gofod Euclidaidd yn cynnwys y plân Euclidaidd dau ddimensiwn, y gofod tri dimensiwn o geometreg Euclidaidd, a dimensiynau uwch.

Gofod Euclidaidd

Enghraifft o'r canlynol	geometric structure
Math	Hilbert space, analytic manifold, real vector space, finite dimension vector space, space, Riemannian manifold
Y gwrthwyneb	curved space

O fewn gofod 3-dimensiwn, pennir pob pwynt gan dri chyfesuryn.

Fe'i enwyd ar ôl y mathemategydd Groeg yr Henfyd, Euclid o Alexandria ac mae'r term "Euclidaidd" yn cynnwys gofod 2 a 3-dimensiwn o fewn geometreg Euclidaidd a dimensiynau uwch. Yng nghyfnod y Groegiaid, arferid diffinio'r plân Euclidaidd a'r plân 3-dimensiwn Euclidaidd gyda chynosodiadau (postulates) a'r nodweddion eraill fel theoremau. Defnyddid lluniadau geometrig hefyd i ddiffinio rhifau cymarebol fel cymarebau cyfesur.

Y strwythur Euclidaidd

Y pellter rhwng pwyntiau a'r onglau rhwng llinellau neu fectorau yw'r system hon. Rhaid iddynt fodloni rhai amodau, sy'n peri i'r set o bwyntiau fod yn ofod Euclidaidd. Y dull naturiol o gael y symiau hyn yw drwy gyflwyno (a defnyddio) y cyfanswm safonnol mewnol, a elwir hefyd yn "gyfanswm dot" ar Rⁿ.^[1] Diffinnir cyfanswm mewnol unrhyw ddau n-fector real x a y gan

${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n},}$

lle mae x_i a y_i yn ied cyfesuryn o'r fectorau x a y yn y drefn honno. Mae'r canlyniad bob tro yn rhif real.

Pellter

Mae cyfanswm mewnol x gyda'i hun bob amser yn rhif nad yw'n negatif. Mae'r cyfanswm hwn yn caniatau i ni ddiffinio "hyd" y fector x drwy ail isradd:

${\displaystyle \|\mathbf {x} \|={\sqrt {\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} }}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}.}$

Mae'r ffwythiant-hyd hwn yn bodloni'r nodweddion sydd ei hangen ar y norm, ac fei'i gelwir yn "norm Euclidaidd" ar Rⁿ.

Gellir defnyddio'r norm i ddiffinio metrig (neu ffwythiant-pellter) ar Rⁿ drwy

${\displaystyle d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}.}$

Gelwir y pellter (neu'r hyd) hwn yn "fetrig Euclidaidd".

Ongl

Onglau positif a negatif ar y plân cyfeiriedig.

Mae'r ongl θ (0° ≤ θ ≤ 180°) rhwng y fectorau x a y fel a ganlyn:

${\displaystyle \theta =\arccos \left({\frac {\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} }{\|\mathbf {x} \|\|\mathbf {y} \|}}\right)}$

lle mae arcos yn ffwythiant arcosin.

Cyfeiriadau

1. E.D. Solomentsev (7 Chwefror 2011). "Euclidean space". Encyclopedia of Mathematics. Springer. Cyrchwyd 1 Ma1 2014. Check date values in: |accessdate= (help)