Plân geometraidd

Mewn mathemateg, mae plân yn arwyneb fflat, dau ddimensiwn sy'n ymestyn yr anfeidraidd ymhell. Plân yw'r analog dau ddimensiwn o bwynt (heb ddimensiwn), llinell (un dimensiwn) a lle (neu 'ofod') tri dimensiwn. Gall planau fodoli fel is-blanau (subspaces) hefyd, is-blanau o ryw ddimensiwn uwch, fel ystafell o fewn tŷ gada'i waliau'n cael eu hymestyn am byth, y tu allan i'r dyluniad. Dyma a wneir mewn geometreg Ewclidaidd.

Dau blân geometraidd yn croestori

Tri plân cyfochrog

Wrth weithio'n gyfan gwbl mewn gofod Ewclidaidd dau ddimensiwn, defnyddir y fannod (y plân), felly mae'r plân yn cyfeirio at y gofod cyfan. Mae llawer o dasgau sylfaenol mewn mathemateg, geometreg, trigonometreg, theori graff, a graffio yn cael eu gwneud mewn lle dau ddimensiwn, neu, mewn geiriau eraill, yn y plân.

Geometreg Ewclidaidd

Fel llawer o gysyniadau mathemategol, Euclid oedd y cyntaf i grynhoi ei feddwl yn daclus yn y maes hwn (a'i gofnodi yn yr Elfennau), a hynny mewn dull gwirebol (axiomatic). Dewisodd lond dwrn o dermau craidd, heb eu diffinio (a elwir yn 'ofynion cyffredinol'; common notions) a 'chynosodau' (neu 'wirebau'); defnyddiodd y rhain i brofi nifer o ddatganiadau geometrig. Er nad yw'r plân, yn ei ystyr fodern, yn cael ei ddiffinio'n o fewn yr Elfennau, gellir ei ystyried fel rhan o'r gofynion cyffredinol. Ni ddefnyddiodd Euclid rifau erioed i fesur hyd, ongl, neu ardal. Oherwydd hyn, nid yw plân Ewclid yn union yr un fath â'r plân Cartesaidd.

Arwyneb a rannwys ar ffurf grid, felly, yw'r plân Ewclidaidd.

Planau tri dimensiwn mewn gofod Ewclidaidd

Mewn gofod Ewclidaidd o unrhyw nifer o ddimensiynau, mae plân wedi'i bennu'n unigryw gan unrhyw un o'r canlynol:

• Tri phwynt nad yw'n unllin (non-collinear) (pwyntiau ddim ar linell sengl).
• Llinell a phwynt heb fod ar y linell honno.
• Dwy linell wahanol sy'n croestorri.
• Dwy linell gyfochrog.

Nodweddion

Mae'r datganiadau canlynol yn dal mewn gofod Ewclidaidd tri dimensiwn ond nid mewn dimensiynau uwch, er bod ganddynt analog uwch-ddimensiwn:

• Mae dwy blân wahanol naill ai'n gyfochrog neu maent yn croestorri mewn llinell.
• Mae llinell naill ai'n gyfochrog i'r plân, yn ei groestorri ar un pwynt, neu wedi'i gynnwys yn y plân.
• Rhaid i ddwy linell wahanol, berpendicwlar i'r un plân fod yn gyfochrog â'i gilydd.
• Rhaid i ddwy plân wahanol sy'n perpendicwlar i'r un linell fod yn gyfochrog â'i gilydd.

Hafaliadau'r plân

Mae gan blanau mewn gofod tri dimensiwn ddisgrifiad naturiol gan ddefnyddio pwynt yn y plân a fector orthogonal iddo (y fector arferol) i nodi ei "oledd" (inclination).

Pe ddywedir fod r₀ yn fector safle o ryw bwynt P₀ = (x₀, y₀, z₀), a bod n = (a, b, c) yn fector di-sero. Mae'r plân a bennir gan y pwynt P₀ a'r fector n yn cynnwys y pwyntiau P, gyda fectorau safle r, fel bod y fector a dynnir o P₀ i P yn berpendicwlar i n. O dwyn i gof bod y ddau factor hyn yn berpendicwlar os yw eu lluoswm-dot yn sero, yna, mae'n dilyn y gellir disgrifio'r plân fel set o bob pwynt r fel bod:

${\displaystyle \mathbf {n} \cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=0.}$

(Mae'r dot yma'n gyfystyr â'r lluoswm-dot (neu 'luoswm sgalar'). O'i ehangu, fe geir:

${\displaystyle a(x-x_{0})+b(y-y_{0})+c(z-z_{0})=0,}$

sef y ffurf 'pwynt normal' o hafaliad y plân.^[1] hafaliad llinol yw hwn

${\displaystyle ax+by+cz+d=0,}$

ble mae

${\displaystyle d=-(ax_{0}+by_{0}+cz_{0}).}$

Y gwrthwyneb: os yw a, b, c a d yn gysonion ac nad yw a, b, na c i gyd yn sero, yna mae graff yr hafaliad

${\displaystyle ax+by+cz+d=0,}$

yn blân sydd a'i fector n = (a, b, c) yn normal.^[2] Dyma'r dull arferol o gyflwyno hafaliad y plân.^[3]

Gweler hefyd

• Plân arosgo (planau arosgo) - (oblique plane)
• Plân ar oledd - inclined plane
• plân cyfeirnod - plane of reference
• plân cymesuredd plane of symmetry

Cyfeiriadau

1. Anton 1994, p. 155
2. Anton 1994, p. 156
3. Weisstein, Eric W. (2009), "Plane", MathWorld--A Wolfram Web Resource, http://mathworld.wolfram.com/Plane.html, adalwyd 2009-08-08