Limita

Tento článek je o limitě funkce nebo zobrazení. O limitě a kolimitě v teorii kategorií pojednává článek Limita (teorie kategorií).

Limita je matematická konstrukce vyjadřující, že se hodnoty zadané funkce nebo posloupnosti blíží libovolně blízko k nějakému bodu. Právě tento bod je pak označován jako limita. Tato skutečnost se u funkcí zapisuje ${\displaystyle \lim _{x\rightarrow a}f(x)=A}$ a u posloupností ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=A}$.

Dle toho, zda se uvažuje o funkci nebo o posloupnosti, hovoříme o limitě funkce nebo limitě posloupnosti. Pojem limity lze definovat na reálných číslech, obecnější definice má smysl na libovolném metrickém prostoru a ještě obecnější definice na libovolném topologickém prostoru. Tam, kde má smysl více definic, jsou tyto definice ekvivalentní (například reálná čísla jsou metrickým i topologickým prostorem).

Limita funkce

Podrobnější informace naleznete v článku Limita funkce.

Číslo ${\displaystyle A\in \mathbb {R} }$ je limitou funkce ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ v bodě ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$, jestliže pro libovolné ${\displaystyle \varepsilon >0}$ existuje ${\displaystyle \delta >0}$ takové, že pro každé ${\displaystyle x\in D_{f}}$ takové, že ${\displaystyle 0<\left|x-a\right|<\delta }$ (${\displaystyle x}$ leží v prstencovém okolí bodu ${\displaystyle a}$) platí ${\displaystyle \left|f(x)-A\right|<\varepsilon }$.

Limita posloupnosti

Podrobnější informace naleznete v článku Limita posloupnosti.

Číslo ${\displaystyle A\in \mathbb {R} }$ je limitou posloupnosti ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$, jestliže pro libovolné ${\displaystyle \varepsilon >0}$ existuje ${\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} }$ takové, že pro každé ${\displaystyle n\geq n_{0}}$ platí ${\displaystyle |a_{n}-A|<\varepsilon }$.

Limita v metrickém prostoru

Prvek ${\displaystyle x}$ metrického prostoru ${\displaystyle X}$ s metrikou ${\displaystyle \rho }$ je limitou posloupnosti jeho prvků ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$, právě když platí ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\rho (x_{n},x)=0}$.

Limita v topologickém prostoru

Podrobnější informace naleznete v článku Limita_posloupnosti#V_topologických_prostorech.

Limita zobrazení ${\displaystyle f:A\to B}$ mezi topologickými prostory ${\displaystyle A}$ a ${\displaystyle B}$ je v bodě ${\displaystyle a\in A}$ definována jako ${\displaystyle b\in B}$ takové, že pro každé okolí ${\displaystyle O(b)}$ bodu ${\displaystyle b}$ existuje okolí ${\displaystyle O(a)}$ bodu ${\displaystyle a}$ takové, že ${\displaystyle x\in O(a)}$ implikuje ${\displaystyle f(x)\in O(b)}$.

Dalším zobecněním limity posloupnosti, funkce i zobrazení jsou limity topologických sítí^[1]. Limita zobrazení nebo topologické sítě může být v obecném topologickém prostoru víceznačná. Platí však, že v Hausdorffově prostoru je tato limita jednoznačná, tj. každé zobrazení či topologická síť má nejvýše jednu limitu.

Nevlastní limita v nevlastním bodě

Pokud pro libovolné číslo ${\displaystyle \varepsilon >0}$ lze nalézt prvek posloupnosti, počínaje kterým jsou všechny hodnoty posloupnosti větší než ${\displaystyle \varepsilon }$, říkáme, že posloupnost roste nade všechny meze neboli že má nevlastní limitu ${\displaystyle +\infty }$. Obdobně se definuje nevlastní limita ${\displaystyle -\infty }$.

Pokud pro libovolné číslo ${\displaystyle \varepsilon >0}$ lze nalézt okolí bodu ${\displaystyle a}$, ve kterém má funkce hodnotu větší než ${\displaystyle \varepsilon }$, říkáme, že v okolí bodu ${\displaystyle a}$ funkce roste nade všechny meze neboli že má nevlastní limitu ${\displaystyle +\infty }$. Obdobně se definuje nevlastní limita ${\displaystyle -\infty }$.

Limitou tedy může být nejen reálné číslo, ale i ${\displaystyle +\infty }$ nebo ${\displaystyle -\infty }$ (rozšířené reálné číslo).

Pokud se hodnoty limity neliší od čísla ${\displaystyle A}$ o více než libovolné číslo ${\displaystyle \varepsilon >0}$, má funkce v nevlastním bodě ${\displaystyle +\infty }$ vlastní limitu ${\displaystyle A}$. Pokud jsou hodnoty limity větší než libovolné číslo ${\displaystyle \varepsilon >0}$, má funkce v nevlastním bodě ${\displaystyle +\infty }$ nevlastní limitu ${\displaystyle +\infty }$. Obdobným způsobem lze definovat limitu v nevlastním bodě ${\displaystyle -\infty }$.

V každém z nevlastních bodů ${\displaystyle +\infty }$ nebo ${\displaystyle -\infty }$ může mít funkce vlastní limitu, nevlastní limitu nebo limita nemusí existovat. Příkladem funkce, která nemá limitu v žádném z bodů ${\displaystyle +\infty }$ nebo ${\displaystyle -\infty }$, je funkce sinus.

Příklady

• 
  Graf funkce ${\displaystyle \scriptstyle f(x)={\frac {\sin(x)}{x}}}$. Je vidět, že tato funkce má limitu 1 v bodě nula.
• 
  Graf funkce ${\displaystyle \scriptstyle f(x)={\frac {1}{x}}}$. Je vidět, že tato funkce nemá limitu v bodě nula a má vlastní limity 0 v ${\displaystyle \scriptstyle \pm \infty }$.
• 
  Graf funkce ${\displaystyle \scriptstyle f(x)={\frac {1}{x^{2}}}}$. Je vidět, že tato funkce má nevlastní limitu ${\displaystyle \scriptstyle +\infty \,\!}$ v bodě nula a má vlastní limity 0 v ${\displaystyle \scriptstyle \pm \infty }$.

• Funkce ${\displaystyle {\sin x} \over x\,\!}$ není v nule definovaná, ale má v ní limitu 1^{[pozn. 1]} (vlastní limita ve vlastním bodě) a v ${\displaystyle +\infty \,\!}$ má limitu 0 (vlastní limita v nevlastním bodě).
• Funkce ${\displaystyle {\sin {1 \over x}}\,\!}$ ani ${\displaystyle {\sin {1 \over x}} \over x\,\!}$ v nule limitu nemají. Totéž platí i o funkcích ${\displaystyle {1 \over x}\,\!}$ či ${\displaystyle {1 \over x^{3}}\,\!}$, ovšem ty mají alespoň jednostranné limity: jejich pravostranná limita je ${\displaystyle +\infty \,\!}$ a levostranná ${\displaystyle -\infty \,\!}$.
• Funkce ${\displaystyle {1 \over x^{2}}\,\!}$ a ${\displaystyle {1 \over x^{4}}\,\!}$ mají v nule limitu ${\displaystyle +\infty \,\!}$ (nevlastní limita ve vlastním bodě).
• Funkce ${\displaystyle {\sin x}\,\!}$ má v nule limitu 0 a v ${\displaystyle +\infty \,\!}$ limitu nemá. Obě tato tvrzení platí i o funkci ${\displaystyle {x\cdot \sin x}\,\!}$.
• Funkce ${\displaystyle e^{x}\,\!}$ má v ${\displaystyle -\infty \,\!}$ limitu 0 (vlastní limita v nevlastním bodě) a v ${\displaystyle +\infty \,\!}$ limitu ${\displaystyle +\infty \,\!}$.

Poznámky

1. To lze intuitivně zdůvodnit tak, že funkce sin x má v okolí nuly „velmi podobný“ průběh, jako funkce f(x) = x; proto se jejich poměr blíží k jedné. (L'Hospitalovo pravidlo)