Transpozice matice

V lineární algebře se matice, která vznikne z matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ vzájemnou výměnou řádků a sloupců, nazývá matice transponovaná k matici ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ a obvykle se značí ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }}$. ^[1] Odpovídající operace je tzv. transpozice matice.

Transponovanou matici ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }}$ k matici ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ lze získat převrácením prvků podél její hlavní diagonály. Opakovaná operace transpozice na transponované matici vrátí prvky do původní polohy.

Transpozici matice zavedl v roce 1858 britský matematik Arthur Cayley. ^[2] Reprezentuje-li matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ binární relaci, pak její transpozice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }}$ odpovídá inverzní relaci.

Definice

Matici transponovanou k matici ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ lze získat libovolnou z následujících metod:

1. Převrácením ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ podél její hlavní diagonály nebo
2. zápisem řádků ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ do sloupců ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }}$nebo
3. zápisem sloupců ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ do řádků ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }}$.

Formálně, pro jednotlivé prvky transponované matice platí:

${\displaystyle ({\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} })_{ij}=a_{ji}}$

Pokud má matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ rozměry ${\displaystyle (m,n)}$, pak její transpozicí vznikne matice o rozměrech ${\displaystyle (n,m)}$.

Symbol ${\displaystyle \mathrm {T} }$ je rezervován pro označení transpozice a neměl by být zaměňován s jiným významem horního indexu, jako např. název proměnné ${\displaystyle i}$ ve výrazu ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{i}}$, znamenajícím ${\displaystyle i}$-tou mocninu čtvercové matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$.

Ukázky

• Transpozicí matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}0&1&2&3\\4&5&6&7\end{pmatrix}}}$ vznikne ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }={\begin{pmatrix}0&4\\1&5\\2&6\\3&7\end{pmatrix}}}$.
• ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}^{\mathrm {T} }={\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}}$

Definice matic využívající transpozici

Čtvercová matice, jenž je rovna své transpozici, se nazývá symetrická matice; čili ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ je symetrická, pokud

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }={\boldsymbol {A}}}$.

Čtvercová matice, jenž je rovna záporu své transpozice, se nazývá antisymetrická matice; čili ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ je antisymetrická, pokud

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }=-{\boldsymbol {A}}}$.

Čtvercová komplexní matice, jejíž transpozice je rovna matici, kde každý prvek je nahrazen k němu komplexně sdruženým číslem, se nazývá hermitovská matice; čili ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ je hermitovská, pokud

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }={\overline {\boldsymbol {A}}}}$.

Čtvercová matice, jejíž transpozice se shoduje s její inverzní matici, se nazývá ortogonální matice; čili ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ je ortogonální, pokud

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }={\boldsymbol {A}}^{-1}}$.

Vlastnosti

• Dvojitá transpozice matice je opět původní matice:

${\displaystyle \left({\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }\right)^{\mathrm {T} }={\boldsymbol {A}}}$,

neboli operace transpozice je involuce.

• Skalární násobek lze vytknout před operaci transpozice:

${\displaystyle (c{\boldsymbol {A}})^{\mathrm {T} }=c{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }}$

neboli transpozice zachovává skalární násobek matic.

• Transpozice součtu matic je součtem transponovaných matic:

${\displaystyle ({\boldsymbol {A}}+{\boldsymbol {B}})^{\mathrm {T} }={\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }+{\boldsymbol {B}}^{\mathrm {T} }}$

neboli transpozice zachovává součet matic.

• Transpozice součinu dvou matic je součinem transponovaných matic v obráceném pořadí:

${\displaystyle \left({\boldsymbol {AB}}\right)^{\mathrm {T} }={\boldsymbol {B}}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }\,}$

Indukcí lze tento vztah rozšířit na součin více matic: ${\displaystyle ({\boldsymbol {A}}_{1}{\boldsymbol {A}}_{2}\cdots {\boldsymbol {A}}_{k})^{\mathrm {T} }={\boldsymbol {A}}_{k}^{\mathrm {T} }\cdots {\boldsymbol {A}}_{2}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {A}}_{1}^{\mathrm {T} }}$

• Z předchozího vztahu vyplývá, že čtvercová matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ je regulární, právě když je regulární ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }}$. V tomto případě platí, že transpozice inverzní matice je rovna inverzi transponované matice:

${\displaystyle \left({\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }\right)^{\mathrm {-1} }=\left({\boldsymbol {A}}^{\mathrm {-1} }\right)^{\mathrm {T} }\,}$

• Skalární součin dvou reálných sloupcových vektorů ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}}$ a ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}}$ lze spočítat jako jediný prvek maticového součinu:

${\displaystyle \langle {\boldsymbol {u}}|{\boldsymbol {v}}\rangle ={\boldsymbol {u}}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {v}}}$

• Determinant čtvercové matice se transpozicí nezmění:

${\displaystyle \det \left({\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }\right)=\det {\boldsymbol {A}}\,}$

• Vlastní čísla čtvercové matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ se shodují s vlastními čísly její transpozice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }}$, protože obě matice mají totožný charakteristický polynom.
• Pro libovolnou matici platí, že obě matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {A}}}$ i ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }}$ jsou symetrické. Symetrie matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }}$prostě plyne ze skutečnosti, že je sama sobě transpozicí:

${\displaystyle \left({\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }\right)^{\mathrm {T} }=\left({\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }\right)^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }={\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }}$.

• Je-li navíc ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ reálná matice, pak obě matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {A}}}$ i ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }}$ jsou pozitivně semidefinitní.

Implementace maticové transpozice na počítačích

Ilustrace řádkového a sloupcového pořadí prvků matice

Na počítači se lze často vyhnout výpočtu a ukládání transpozice matice v paměti pouhým přístupem ke stejným datům, ale jen v jiném pořadí. Například softwarové knihovny pro lineární algebru, jako je BLAS, obvykle poskytují možnosti, jak určit, že určité matice mají být interpretovány v transponovaném pořadí, aby se předešlo nutnosti přesunu dat.

V řadě případů je však nutné nebo žádoucí fyzicky přeuspořádat matici v paměti na její transpozici. Například s maticí uloženou v pořadí po řádcích jsou řádky matice v paměti souvislé a sloupce nesouvislé. Pokud je třeba provádět opakované operace se sloupci, například v rychlé Fourierově transformaci, může transpozice matice v paměti (aby sloupce byly souvislé) zrychlit výpočet díky principu lokality paměti.

Ve výpočtech je vhodné provádět transpozici matici s minimálními dodatečnými paměťovými nároky. To vede k problému transpozice matice typu ${\displaystyle m\times n}$ na místě, neboli s dodatečnou pamětí konstantní velikosti, případně o velikosti mnohem menší než udává součin ${\displaystyle mn}$ odpovídající alokaci paměti pro celou transponovanou matici. V případě, že ${\displaystyle m\neq n}$, jde o složitou permutaci uložených dat, jejíž implementace na místě není triviální. Efektivní transpozice matice na místě se stala předmětem četných výzkumných publikací v teoretické informatice už koncem 50. let 20. století.

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Transpose na anglické Wikipedii.

1. ČSN EN ISO 80000-2 (011300). Veličiny a jednotky - Část 2: Matematika. Česká agentura pro standardizaci, 2020-11-01. detail.
2. Arthur Cayley (1858) "A memoir on the theory of matrices", Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 148 : 17–37. Matice transponovaná (neboli "transpozice") je definována na str. 31.

Literatura

• Slovník školské matematiky. Praha: SPN, 1981. 240 s.

• BÄRTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. Praha: Academia, 2006. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. Kapitola Matice, s. 180–198.
• HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5.
• OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2023-02-20]. Dostupné online.

Související články

• Inverzní matice
• Násobení matic
• Matice

Externí odkazy

• Eduard Krajník - Maticový počet Archivováno 26. 7. 2020 na Wayback Machine.

Portály: Matematika