Stejnoměrná konvergence

Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí je druh konvergence. Posloupnost ${\displaystyle \{f_{n}(x)\}_{n=1}^{n=\infty }}$ funkcí konverguje stejnoměrně k funkci ${\displaystyle f}$ (nazývané též limitní funkce), pokud rychlost konvergence nezávisí na hodnotě x. Stejnoměrná konvergence implikuje konvergenci bodovou, Vztah mezi těmito konvergencemi popisuje Diniho věta.^[1]

Definice

V metrických prostorech

Stejnoměrnou konvergenci v metrickém prostoru definujeme takto

${\displaystyle \forall \varepsilon >0,\exists n_{0}\in \mathbb {N}$ :\forall x\in M,\forall n\in \mathbb {N} ,n>n_{0}:|f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon }

či ekvivalentně

${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }\sup \limits _{x\in M}|f_{n}(x)-f(x)|=0}$. Kde M je množina z daného prostoru.^[2]

Tedy posloupnost konverguje, pokud ke každému kladnému číslu ${\displaystyle \varepsilon }$ lze najít index, od kterého je každý prvek posloupnosti v ${\displaystyle \varepsilon }$-ovém okolí limitní funkce. Či ekvivaletně jestliže limita supréma vzdálenosti jednotlivých prvků posloupnosti a limitní funkce je nula.

V uniformních prostorech

Podrobnější informace naleznete v článku Uniformní prostor.

K zavedení pojmu stejnoměrné konvergence funkcí z ${\displaystyle X}$ do ${\displaystyle Y}$ nestačí, aby ${\displaystyle Y}$ byl pouze topologický prostor, topologická struktura, k tomu neposkytuje dostatek informací. Na druhou stranu není nutné mít tak detailní strukturu, jakou poskytuje metrický prostor. Proto vznikl pojem uniformní prostor, který obsahuje právě informaci k tomu potřebnou.

Pro neprázdnou množinu ${\displaystyle X}$, uniformní prostor ${\displaystyle (Y,U)}$ a množinu funkcí ${\displaystyle {f_{n}}}$ z ${\displaystyle X}$ do ${\displaystyle Y}$ se říká, že stejnoměrně konverguje k funkci ${\displaystyle f:X\to Y}$, pokud ke každému ${\displaystyle V\in U}$ existuje ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$, takové že pro všechna ${\displaystyle n\geq N}$ a ${\displaystyle x\in X}$ platí ${\displaystyle (f_{n}(x),f(x))\in V}$.