Obor hodnot

Obor hodnot zobrazení ${\displaystyle T:X\to Y}$ z množiny ${\displaystyle X}$ do množiny ${\displaystyle Y}$ je množina všech hodnot množiny ${\displaystyle Y}$, kterých zobrazení ${\displaystyle T}$ nabývá. Obecně nemusí být zobrazení ${\displaystyle T}$ projektováno na celou množinu ${\displaystyle Y}$, v tom případě tvoří jeho obor hodnot podmnožinu množiny ${\displaystyle Y}$. Obor hodnot funkce ${\displaystyle f}$ je množina všech hodnot, kterých funkce ${\displaystyle f}$ nabývá.

Funkce ${\displaystyle f}$ zobrazuje množinu ${\displaystyle X}$ do množiny ${\displaystyle Y}$. Definiční obor značen červeně, obor hodnot žlutě.

Definice

V matematické notaci lze obor hodnot pro zobrazení ${\displaystyle T:X\to Y}$ zapsat následovně:

${\displaystyle R_{T}=\{y\in Y|(\exists x\in X)(T(x)=y)\}}$.

Obor hodnot zobrazení ${\displaystyle T}$ resp. funkce ${\displaystyle f}$ se značí ${\displaystyle R_{T}=R(T)}$ resp. ${\displaystyle R_{f}=R(f)}$^{[pozn. 1]}. Pro definiční obor se v zahraniční literatuře používá označení doména, pro obor hodnot pak označení kodoména.

Příklad

• Oborem hodnot nemusí být jen čísla, lze sestrojit zobrazení, které vezme číslo a vrátí zobrazení. Uvažujme množinu ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ reálných spojitých funkcí reálné proměnné, tj. funkcí ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ a zobrazení ${\displaystyle T:\mathbb {R} \to {\mathcal {C}}}$, které vezme číslo ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ a vrátí zobrazení ${\displaystyle f(x)=\exp(ax)}$. Hodnotou zobrazení ${\displaystyle T}$ je tedy opět nějaké zobrazení ${\displaystyle f}$, které zobrazuje reálná čísla na kladná reálná čísla, tj. ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{+}}$.

• Ve funkcionální analýze se zavádí pojem esenciálního oboru hodnot. Pokud je na množině ${\displaystyle M}$ daná míra ${\displaystyle \mu }$ a ${\displaystyle f}$ je nějaká komplexní funkce definovaná na ${\displaystyle M}$, tj. ${\displaystyle f:M\to \mathbb {C} }$, pak esenciálním oborem hodnot funkce ${\displaystyle f}$ rozumíme množinu ${\displaystyle R_{\text{ess}}(f)=\{\lambda \in \mathbb {C} |(\forall \epsilon >0)(\mu (M_{\epsilon }(\lambda ))>0)\}}$, kde ${\displaystyle M_{\epsilon }(\lambda )=\{x\in M|\ |f(x)-\lambda |<\epsilon \}}$.

Poznámky

1. Ve starší literatuře v angličtině se termín Range používal někdy pro obor hodnot jindy pro celou cílovou množinu ${\displaystyle Y}$

Odkazy

Literatura

• BARTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. 4. vyd. Praha: Academia, 1994. 832 s. ISBN 80-200-1448-9.

• JARNÍK, Vojtěch. Diferenciální počet I. 7. vyd. Praha: Academia, 1984. 392 s.

Související články

• Definiční obor
• Zobrazení (matematika)

Portály: Matematika