Kochaňského konstrukce

Kochańského konstrukce je přibližná metoda rektifikace kružnice neboli konstrukce úsečky o délce rovné polovině obvodu daného kruhu navržená v roce 1685 polským matematikem Adamem Adamandym Kochańským^[1]. Umožňuje sestrojení úsečky, která je přibližně ${\displaystyle \pi }$-krát delší než daná úsečka. Jejím využitím lze také provést přibližnou kvadraturu kruhu.

Model původního obrázku Kochańského z Acta Eruditorum ilustrující jeho přibližnou rektifikaci kružnice

Popis konstrukce

Je dána kružnice se středem v bodě ${\displaystyle P_{1}}$ a poloměrem ${\displaystyle r.}$

• Sestrojíme průměr kružnice ${\displaystyle {\overline {P_{2}P_{3}}}.}$
• Sestrojíme tečnu ke kružnici v bodě ${\displaystyle P_{2}.}$
• Sestrojíme kružnici (nebo kruhový oblouk) se středem v bodě ${\displaystyle P_{2}}$ a poloměrem ${\displaystyle r.}$ Jeden z průsečíků s původní kružnicí označíme ${\displaystyle P_{4}.}$
• Sestrojíme kružnici (kruhový oblouk) se středem v bodě ${\displaystyle P_{4}}$ a poloměrem ${\displaystyle r.}$ Jeden z průsečíků kruhových oblouků je ${\displaystyle P_{1}}$, druhý označíme ${\displaystyle P_{5}.}$ Body ${\displaystyle P_{1}}$ a ${\displaystyle P_{5}}$ tvoří osu úsečky ${\displaystyle {\overline {P_{2}P_{4}}}.}$
• Průsečík ${\displaystyle {\overline {P_{1}P_{5}}}}$ s tečnou ke kružnici vedenou bodem ${\displaystyle P_{2}}$ označíme ${\displaystyle P_{6}.}$
• Na polopřímku ${\displaystyle {\overline {P_{6}P_{2}}}}$ naneseme od bodu ${\displaystyle P_{6}}$ 3krát vzdálenost ${\displaystyle r}$, čímž získáme postupně body ${\displaystyle P_{7},}$ ${\displaystyle P_{8},}$ ${\displaystyle P_{9}.}$
• Úsečka ${\displaystyle {\overline {P_{3}P_{9}}}}$ má délku přibližně rovnou ${\displaystyle \pi r}$

${\displaystyle |P_{3}P_{9}|=|P_{1}P_{2}|{\sqrt {{\frac {40}{3}}-2{\sqrt {3}}}}\approx 3{,}141\,533\,338\,7\cdot |P_{1}P_{2}|\approx \pi r.}$

Stojí za zmínku, že úsečka ${\displaystyle {\overline {P_{1}P_{5}}}}$ je výškou rovnostranného trojúhelníka ${\displaystyle {P_{1}}{P_{4}}{P_{2}},}$ což znamená, že svírá úhel 30° s úsečkou ${\displaystyle {\overline {P_{2}P_{3}}}}$^[2].

Odhad relativní chyby

${\displaystyle \left|\pi -{\sqrt {{\frac {40}{3}}-2{\sqrt {3}}}}\right|\approx 0{,}000\,059\,314\,884\,7.}$

Proto se chyba objeví až na pátém místě za desetinnou čárkou. Takové přiblížení v praktických případech obvykle postačuje.

Kvadratura kruhu založená na Kochańského konstrukci

Na základě Kochańského konstrukce je možná také přibližná kvadratura kruhu. Ilustruje ji následující obrázek.

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Konstrukcja Kochańskiego na polské Wikipedii.

1. KOCHAŃSKI, Adam Adamandy. Observationes Cyclometricae ad facilitandam Praxin accomodatae. Acta Eruditorum. Roč. 1685, čís. 4, s. 394–398. (latinsky)
2. BIELIŃSKI, Andrzej. Geometria wykreślna. Warszawa: [s.n.], 2005. ISBN 83-7207-564-6. (polsky)

Související články

• Rektifikace kružnice
• Kvadratura kruhu
• Kvadratura (matematika)