Deltoid

Deltoid je čtyřúhelník, jenž má dvě dvojice shodných sousedních stran.

Deltoid

Konvexní a nekonvexní deltoid

Název

Název pochází z tvaru řeckého písmene delta. Má tvar (klasického létajícího) draka; ryze anglický termín pro deltoid je „kite“ (drak) a ryze německý výraz je „Drachenviereck“ (dračí čtyřúhelník).

Vlastnosti

Deltoid ABCD z obrázku má dva páry shodných stran AB = AD, CB = CD, tyto shodné strany sdílejí stejné vrcholy (A, C).

Úhlopříčky deltoidu jsou na sebe kolmé. Značíme je AC = e = d₁, BD = f = d₂. Úhlopříčka BD u deltoidu ABCD z obrázku je úhlopříčkou AC půlena. Hlavní úhlopříčka AC dělí deltoid na dva shodné trojúhelníky a vedlejší na dva rovnoramenné trojúhelníky, mající tvar řeckého písmene delta, odtud název.

Deltoid je osově souměrný podle jediné hlavní úhlopříčky (AC). Spolu s identitou je to jediný jeho zákrytový pohyb, takže jeho grupa symetrie je jen Z₂ .

Deltoid má zřejmě stejný součet délek protilehlých stran, je to tedy tečnový čtyřúhelník. Lze mu tedy vždy vepsat kružnici.

Zvláštní případy

Deltoid s pravými úhly u vrcholů vedlejší úhlopříčky

Jestliže úhly u vrcholů vedlejší úhlopříčky (β, δ) jsou pravé, řadíme jej mezi dvojstředové čtyřúhelníky (lze mu opsat i vepsat kružnici). ^[1]

Reuleauxovu trojúhelníku lze vepsat deltoid, jehož úhlopříčky mají stejnou délku.

Reuleauxův trojúhelník s vepsaným deltoidem

Speciální případ deltoidu je čtverec – právě když jsou všechny strany shodné AB = AD = BC = BD, všechny úhly jsou pravé a úhlopříčky AC = BD (jsou shodné); a kosočtverec – právě když jsou všechny strany shodné AB = AD = BC = BD a úhlopříčky AC = BD (jsou shodné).^[2]

Obvod a obsah

Obvod ${\displaystyle O}$ deltoidu se rovná součtu délek jeho stran ${\displaystyle a,b,c,d}$:

${\displaystyle O=a+b+c+d=2(a+b).}$

Obsah ${\displaystyle S}$ deltoidu je roven

${\displaystyle S={1 \over 2}ef}$,

kde ${\displaystyle e,f}$ jsou délky jeho úhlopříček. Pokud ${\displaystyle a,b}$ jsou délky různých stran a ${\displaystyle \theta }$ úhel jimi sevřený, pak

${\displaystyle \displaystyle S=ab\cdot \sin {\theta }.}$

Podle obecného vztahu pro obsah tečnového čtyřúhelníku platí

${\displaystyle S=\rho (a+b)}$,

kde ${\displaystyle \rho }$ je poloměr vepsané kružnice.