From Wikipedia, the free encyclopedia
Úplná míra (nebo přesněji úplný prostor s mírou) je v matematice prostor s mírou, ve kterém každá podmnožina libovolné množiny míry nula je měřitelná (a má míru nula). Formálněji řekneme, že prostor s mírou (X, Σ, μ) je úplný právě tehdy, když
Potřeba uvažovat otázky úplnosti lze ilustrovat uvažováním problém součinových prostorů.
Předpokládejme, že máme Lebesgueovu míru na reálné ose: tento prostor s mírou označíme (R, B, λ). Nyní potřebujeme zkonstruovat nějakou dvourozměrnou Lebesgueovu míru λ2 na rovině R2 jako součinovou míru. Naivně bychom jako σ-algebru na R2 použili B ⊗ B, nejmenší σ-algebru obsahující všechny měřitelné „obdélníky“ A1 × A2 pro Ai ∈ B.
Tímto způsobem sice dostaneme prostor s mírou, ale má však jeden nedostatek. Protože každá jednoprvková množina množina má jednorozměrnou Lebesgueovu míru nula, pro „jakoukoli“ podmnožinu A množiny R platí, že
Pokud by A byla neměřitelná podmnožina reálné osy, například Vitaliho množina, pak λ2-míra součinu {0} × A není definovaná, přestože
a tato větší množina má λ2-míru nula. Takto definovaná „dvourozměrná Lebesgueova míra“ tedy není úplná, a musíme ji nějakým způsobem zúplnit.
Je-li dán (případně neúplný) prostor s mírou (X, Σ, μ), existuje jeho rozšíření na prostor s mírou (X, Σ0, μ0), který je úplný. Nejmenší takové rozšíření (tj. nejmenší σ-algebra Σ0) se nazývá zúplnění prostoru s mírou.
Zúplnění lze zkonstruovat takto:
Pak (X, Σ0, μ0) je úplný prostor s mírou, který je zúplněním (X, Σ, μ).
Ve výše uvedené konstrukci lze ukázat, že každý člen Σ0 má tvar A ∪ B pro nějaké A ∈ Σ a nějaké B ∈ Z, a
Maharamova věta tvrdí, že každý úplný prostor s mírou lze rozložit na míry na kontinuích, a konečnou nebo spočetnou aritmetickou míru.
V tomto článku byl použit překlad textu z článku Complete measure na anglické Wikipedii.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.