Pellova rovnice

Pellova rovnice je označení diofantické rovnice ve tvaru:

${\displaystyle x^{2}-Ny^{2}=1\,}$

Grafické znázornění řešení Pellovy rovnice pro ${\displaystyle N=2}$ s vyznačenými šesti z celočíselných řešení

kde ${\displaystyle N}$ je kladné celé číslo. Často je navíc přidáván požadavek, aby ${\displaystyle N}$ bylo nečtvercové, neboť ve variantě s čtvercovým číslem má rovnice jen dvojici řešení ${\displaystyle (\pm 1,0)}$, která má vždy a označují se tedy triviální řešení.^[1] Naopak není-li číslo ${\displaystyle N}$ čtvercem, pak má úloha nekonečně mnoho řešení, jak dokázal již Joseph-Louis Lagrange.

K nalezení základního řešení je možné použít řetězový zlomek vyjadřující ${\displaystyle {\sqrt {N}}}$.^[1] Ze základního řešení ${\displaystyle x_{0},y_{0}}$ je možné získat všechna další řešení z rekurentní rovnice s maticovým násobením:^[1]

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{i+1}\\y_{i+1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{0}&Ny_{0}\\y_{0}&x_{0}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{i}\\y_{i}\end{pmatrix}}}$

Z hlediska abstraktní algebry je nalezení řešení ekvivalentní úloze nalezení jednotek v okruhu celistvých čísel kvadratického tělesa.

Jedním z nejstarších výskytů patřičné úlohy je Archimédova úloha o dobytku.^[2] Řešením Pellovy rovnice se zabývali rovněž matematikové ve staré Indii, kde ji zkoumal například Brahmagupta v sedmém století a Bháskara II. ve dvanáctém století.^[3]

V novověké Evropě se Pellovou rovnicí zabýval mimo jiné Pierre de Fermat, který o ní také psal v roce 1657 v dopise, jehož adresátem byl jeho přítel Bernard Frénicle de Bessy. Pojmenování rovnice po anglickém matematikovi Johnu Pellovi vzniklo následkem toho, že jej Leonhard Euler mylně považoval za autora jejího řešení.^[4]

Odkazy

Reference

V tomto článku byly použity překlady textů z článků Pellsche Gleichung na německé Wikipedii a Pell's equation na anglické Wikipedii.

1. VÍT, Pavel. Řetězové zlomky. Praha: Mladá fronta, 1982. Dostupné online. Kapitola 18. Použití řetězových zlomků.
2. BÁRTLOVÁ, Tereza. In: HALAS, Zdeněk. Archimédés. Několik pohledů do jeho života a díla. Praha: Matfyzpress, 2012. Dostupné online. ISBN 978-80-7378-228-3.
3. SÝKOROVÁ, Irena. Pellova rovnice v indické matematice. Pokroky matematiky, fyziky a astronomie. 2011, roč. 56, čís. 1. Dostupné online. ISSN 0032-2423.
4. ŠOLCOVÁ, Alena. D’Artagnan mezi matematiky - pocta Pierru Fermatovi k 400. výročí narození. Pokroky matematiky, fyziky a astronomie. 2001, roč. 46, čís. 4. Dostupné online. ISSN 0032-2423.

Literatura

• VÍT, Pavel. Řetězové zlomky. Praha: Mladá fronta, 1982. Dostupné online. Kapitola 18. Použití řetězových zlomků.
• PETR, Karel. O rovnici Pellově. Časopis pro pěstování matematiky a fysiky. 1927, roč. 56, čís. 2, s. 57–66. Dostupné online. ISSN 1802-114X.

Portály: Matematika