Mengerova houba

Mengerova houba (též houba Sierpińského-Mengera) je fraktál ve třírozměrném prostoru. Jde o jedno z možných zobecnění Cantorova diskontinua.

Zobrazení útvaru po 4. kroku

Videosoubor rozvoje fraktálu Mengerova houba v trojrozměrném prostoru

Mengerova houba vznikne z krychle následujícím postupem:

• Krychle se rozčlení na 27 shodných krychliček o třetinové délce hran
• odstraní se 7 krychliček, a to šest krychliček ve středech stěn krychle a sedmá ve středu krychle
• tentýž postup se znovu aplikuje na každou ze zbývajících 20 krychliček
• stejně se postupuje dále do nekonečna, v každém dalším kroku vždy pro 3× menší krychličky než v kroku předchozím.^[1][2]

Vzniklý útvar, jehož přibližný vzhled je znázorněn na obrázku, má tyto vlastnosti:

• je souvislý
• jeho objem je po nekonečném množství kroků roven nule
• jeho povrch roste nade všechny meze
• jeho konvexním obalem o nejmenším možném objemu je výchozí krychle
• jeho topologická dimenze je rovna 3
• jeho Hausdorffova dimenze je rovna ln 20/ln 3, tj. asi 2,7268^[3]

Reference

1. GLEICK, J. Chaos: Making a New Science. New York: Penguin Books, 1988. Dostupné online. ISBN 0-1400-9250-1. S. 101. (anglicky)
2. MANDELBROT, Benoît B. The Fractal Geometry of Nature. San Francisco: W. H. Freeman, 1983. Dostupné online. ISBN 0-7167-1186-9. S. 145. (anglicky)
3. Weisstein, Eric W.: Menger Sponge. MathWorld — A Wolfram Web Resource.

Literatura

• MANDELBROT, Benoît: Fraktály. Tvar, náhoda a dimenze. Mladá fronta, Praha 2003.

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Mengerova houba na Wikimedia Commons

Portály: Matematika