From Wikipedia, the free encyclopedia
Modelem kvantového lineárního harmonického oscilátoru je každý oscilující objekt kolem své rovnovážné polohy např. kmity atomů v krystalické mřížce. Lineární harmonický oscilátor patří mezi výjimky kvantové mechaniky, které lze řešit analyticky Schrödingerovou rovnicí. Řadu fyzikálních jevů lze také přinejmenším přibližně převést na harmonický oscilátor a popsat je tak s dostatečnou přesností.
Kvantový lineární harmonický oscilátor je modelový systém, zahrnující částici vázanou na přímku nacházející se v poli sil popsaných potenciální energii , která závisí na poloze částice kvadraticky. Kvůli vázanosti na přímku se tento systém často označuje jako jednorozměrný harmonický oscilátor. Pro tento systém se studují stacionární stavy a pohyb částice.
Pokud potenciál zapíšeme jako
pak Hamiltonův operátor pro jednorozměrný lineární harmonický oscilátor můžeme zapsat jako
Stacionární Schrödingerova rovnice pro lineární harmonický oscilátor tvar
Vynásobíme-li celou rovnici , získáme
a zavedeme-li pro zjednodušení rovnice bezrozměrné veličiny
rovnice přejde ve tvar
Po úpravě dostaneme
Řešení vyjádřené rovnice nelze nalézt jednoduchým matematickým aparátem a vyžaduje komplikovanější úvahy. V souladu s požadavky kladenými na vlnovou funkci budeme požadovat, aby řešení rovnice byla konečná, jednoznačná a spojitá. Nejdříve odhadneme chování vlnové funkce v asymptotické oblasti . Pro hodnoty lze v rovnici zanedbat a ta se pak zjednodušuje na tvar
Jejím řešením je na stejné úrovni přesnosti rovnice, kde a jsou libovolné konstanty.
Pro znaménko plus v exponenciále vlnová funkce diverguje pro a nelze ji normovat. Proto v asymptotické oblasti přibližně platí
Mimo asymptotickou oblast získané přibližné řešení původní rovnice pochopitelně nevyhovuje. Přejít k řešení přesnému, a to pro všechny hodnoty , znamená předpokládat, že na závisí. To znamená, že přesné řešení stacionární Schrödingerovy rovnice je ve tvaru
kde je dosud neurčená funkce modulující exponenciálu dosazením předešlé rovnice pro získáme novou rovnici pro neznámou funkci
Funkci budeme hledat ve tvaru mocninné řady
Neznámé koeficienty pak získáme postupem, který zahrnuje dosazení řady pro do odpovídající rovnice a porovnání členů se stejnými mocninami . Po jistém úsilí získáme
Protože je řešení obyčejné diferenciální rovnice druhého řádu, závisí podle očekávání na dvou konstantách a . Ukazuje se však, že nekonečná řada se pro velká chová jako funkce , což znamená, že vlnová funkce pro diverguje. Funkce proto nemůže mít předpokládaný tvar nekonečné řady. Nezbývá než předpokládat, že má funkce tvar polynomu, to znamená, že počínaje určitým platí a pro dosud libovolné musí splňovat podmínku
S ohledem na předešlý vztah a rovnici dostáváme kvantování energií stacionárních stavů lineárního harmonického oscilátoru[1] [2]
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.