Izolovaný bod

Izolovaný bod je takový bod množiny ${\displaystyle A}$, pro který lze naleznout okolí ${\displaystyle U_{r}}$ takové, že neobsahuje žádný jiný bod množiny ${\displaystyle A}$.^[1]

"0" je izolovaný bod množiny A = {0} ∪ [1;2], ${\displaystyle U_{r}}$ reprezentováno červeně

Definice

Buď ${\displaystyle ({\mathcal {M}},\rho )}$ metrický prostor. Buď potom ${\displaystyle A\subset {\mathcal {M}}}$ množina a ${\displaystyle {\mathcal {x}}\in A}$ její bod. Bod ${\displaystyle {\mathcal {x}}}$ nazveme izolovaným bodem množiny ${\displaystyle A}$ právě tehdy, když existuje ${\displaystyle r>0}$ tak, že ${\displaystyle U_{r}(x)\cap A=\{x\}}$.

Vlastnosti

• Pokud je množina ${\displaystyle A}$ tvořena pouze izolovanými body, nazveme ji množinou diskrétní, např. ${\displaystyle A=\{1,2,3\}}$.
• Pokud množina ${\displaystyle A}$ nemá žádný izolovaný bod, říkáme, že je hustá sama v sobě (anglicky dense in itself), např. množina racionálních čísel ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.
• Pokud je množina hustá sama v sobě a navíc uzavřená, říkáme, že tvoří dokonalou množinu(anglicky perfect set), např. množina reálných čísel ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Odkazy

Reference

1. http://math.feld.cvut.cz/mt/txtb/1/txc3ba1b.htm

Související články

• Limitní bod
• Bod uzávěru

Portály: Matematika