funkce, která na základě koeficientů polynomu poskytuje informaci o počtu a kvalitě jeho kořenů From Wikipedia, the free encyclopedia
Diskriminant (latinsky discriminare - rozlišit) je hodnota získaná z koeficientů polynomu, která umožňuje určit vlastnosti jeho kořenů, aniž bychom je znali. Používá se při řešení algebraickýchrovnic, především kvadratických, a také při studiu vlastností polynomických funkcí. Přesněji řečeno, je to polynomiální funkce získaná z koeficientů původního polynomu. Diskriminant je definován pro polynomy libovolného stupně, ale nejčastěji se používá pro zkoumání kvadratických polynomů.
Grafy kvadratických funkcí v závislosti na hodnotě diskriminantu Δ. Znaménko diskriminantu určuje počet průsečíků s osou x (přímkou y = 0) a tedy počet (reálných) kořenů odpovídající kvadratické rovnice
Např. v případě kvadratických rovnic s reálnými koeficienty rozhoduje diskriminant o množině, ve které se nacházejí její kořeny a o jejich násobnosti. Pro jsou kořeny z množiny reálných čisel, která je podmnožinou množiny komplexních čísel. Právě pro má rovnice dvojnásobný (reálný) kořen. Pro jsou oba kořeny imaginární.
Pokud (liší se znaménko a ), má daná rovnice dva navzájem opačné kořeny: .
Pokud (shoduje se znaménko a ), má daná rovnice dva navzájem opačné imiganinární kořeny: .
Diskriminantem kvadratické rovnice v normovaném tvaru
je .
U rovnic s komplexními koeficienty diskriminant jen určuje existenci násobného kořene - právě v tomto případě je nulový.
Vyjádření diskriminantu pomocí kořenů polynomu druhého stupně
Související informace naleznete také v článkuViètovy vzorce.
Pro kořeny polynomu druhého stupně platí:
; .
Vyjádření: ;
Dosazením do vzorce pro výpočet diskriminantu:
Diskriminant polynomu druhého stupně (kvadratické rovnice) s kořeny je dán vztahem:
Dva různé reálné kořeny pro:
Jeden dvojnásobný reálný kořen pro:
Dva komplexně sdružené imaginární kořeny pro:
U kubické rovnice (kde ) se diskriminant definuje s pomocí jejích kořenů vztahem
Lze ho vyjádřit díky symetrii (pomocí Viètových vzorců) jen pomocí koeficientů rovnice jako
S reálnými koeficienty platí:
Tři různé reálné kořeny pro
Násobný kořen ze tří reálných pro
Jeden reálný a dva imaginární sdružené kořeny pro
U rovnice v redukovaném tvaru
se počítá diskriminant jednodušeji jako
což je
Diskriminantem polynomu −tého stupně s kořeny rozumíme výraz
Jedná se v podstatě o součin všech kvadrátů rozdílů neuspořádaných dvojic kořenů. Proto je roven nule, právě když existuje násobný kořen.
U rovnice s reálnými koeficienty platí, že pokud má všechny kořeny reálné, je diskriminant nezáporný. Opak platí jen u rovnic nejvýše třetího stupně.
Diskriminant polynomu stupně n je symetrický polynom stupně n(n-1) jeho kořenů a lze jej vyjádřit pomocí Vietových vzorců jen pomocí koeficientů polynomu.