Homomorfismo

Not to be confused with Holomorfismo or Homeomorfismo.

Na el algebra, un homomorfismo es un mapa, que ta preserva con el estructura, entre dos maga algebraico estructura del mismo tipo (como dos maga grupo, dos maga anillo o dos maga vectorial espacio). Ta proveni el termino homomorfismo del antiguo griego: ὁμός homós que ta significa "mismo", y μορφή morphḗ que ta significa "forma, figura". Sin embargo, aparentemente introducio el palabra na el matematica por un error de traduccion, del aleman ähnlich "similar" (cognao con el ingles alike) para ὁμός "mismo". Ya aparece el termino "homomorfismo" tan temprano como 1892, cuando atribuio este al aleman matematico si Felix Klein (1849–1925).

Tambien conocio el maga homomorfismo de maga vectorial espacio como maga lineal aplicacion, y el de suyo estudio es el tema del lineal algebra.

Generalizao el concepto del homomorfismo, bajo el nombre de morfismo, a manada otro estructura que (a) hinde ta tene con un subyacente conjunto, o (b) hinde algebraico. Este generalizacion es el punto de partida del teoria de maga categoria.

Un homomorfismo puede tambien un isomorfismo, un endomorfismo, un automorfismo, etc. (mira mas abajo). Cada uno de ellos definible na un manera generalizable a cualquier clase de maga morfismo.

Definicion

Un homomorfismo es un mapa entre dos maga algebraico estructura del mismo tipo (es deci, del mismo nombre), que ta preserva con el maga operacion del maga estructura. Ta significa esto con un mapa ${\displaystyle f:A\to B}$ entre dos maga conjunto ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, equipao con el mismo estructura de tal manera que, si ${\displaystyle \cdot }$ es un operacion del estructura (asumio aqui, para el simplicidad, como un binario operacion), entonces

${\displaystyle f(x\cdot y)=f(x)\cdot f(y)}$

para cada par ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ de maga elemento de ${\displaystyle A}$.^{[lower-alpha 1]} Na manada situacion ta deci kita que ta preserva ${\displaystyle f}$ con el operacion, o que compatible ${\displaystyle f}$ con el operacion.

Formalmente, ta preserva un mapa ${\displaystyle f:A\to B}$ con un operacion ${\displaystyle \mu }$ de aridad ${\displaystyle k}$, definio na ${\displaystyle A}$ and ${\displaystyle B}$ si

${\displaystyle f(\mu _{A}(a_{1},\ldots ,a_{k}))=\mu _{B}(f(a_{1}),\ldots ,f(a_{k})),}$

para todo maga elemento ${\displaystyle a_{1},...,a_{k}}$ na ${\displaystyle A}$.

Na cuanto al maga operacion que debe preservao por un homomorfismo, ta inclui ellos con maga nulario operacion, es deci, maga constante. Na particular, cuando ta requeri el tipo de estructura con un neutro elemento, hay que mapea con el neutro elemento del primer estructura al correspondiente neutro elemento del segundo estructura.

Por ejemplo:

• Un homomorfismo de maga semigrupo es un mapa entre maga semigrupo que ta preserva con el operacion de semigrupo.
• Un homomorfismo de maga monoide es un mapa entre maga monoide que ta preserva con el operacion del monoide y ta mapea con el neutro elemento del primer monoide al del segundo monoide (el neutro elemento es un nulario operacion).
• Un homomorfismo de maga grupo es un mapa entre maga grupo que ta preserva con el operacion de grupo. Ta implica esto que ta mapea el homomorfismo de maga grupo con el neutro elemento del primer grupo al neutro elemento del segundo grupo, y ta mapea con el simetrico elemento del primer grupo al inverso del imagen de este elemento. Ansina un homomorfismo de maga semigrupo entre dos maga grupo es necesariamente un homomorfismo de maga grupo.
• Un homomorfismo de maga anillo es un mapa entre maga anillo que ta preserva con el adicion de maga anillo, el multiplicacion de maga anillo y el multiplicativo identidad. Na cuanto al preservacion del multiplicativo identidad, ta depende esto del definicion de anillo na uso. Si hinde preservao del multiplicativo identidad, ta tene uno con un homomorfismo de maga pseudoanillo.
• Un lineal aplicacion es un homomorfismo de maga vectorial espacio, es deci, un homomorfismo de maga grupo entre maga vectorial espacio que ta preserva con el estructura del abeliano grupo ademas del escalar multiplicacion.
• Un homomorfismo de maga modulo, tambien conocio como un lineal aplicacion entre maga modulo, definio similarmente.
• Un homomorfismo de maga algebra es un mapa que ta preserva con el maga operacion de algebra sobre un cuerpo.

Puede un algebraico estructura tene con mas de un operacion, y debe un homomorfismo preserva con cada operacion. Ansina si ta preserva un mapa con cuanto operacion lang, hinde un homomorfismo del estructura, sino un homomorfismo del estructura obtenio considerando solo con el maga preservao operacion (na otro maga palabra, un parcial homomorfismo). Por ejemplo, un mapa entre maga monoide que ta preserva con el operacion de monoide pero hinde el neutro elemento, hinde un homomorfismo de maga monoide, sino un homomorfismo de maga semigrupo lang, como definio mas arriba.

Hinde necesario que igual (meramente equivalente) el notacion para el maga operacion na el origen y el destino de un homomorfismo. Por ejemplo, ta forma el maga real numero con un grupo para adicion, y ta forma el maga positivo real numero con un grupo para multiplicacion. Ta satisface el exponencial funcion

${\displaystyle x\mapsto e^{x}}$

con

${\displaystyle e^{x+y}=e^{x}e^{y},}$

ansina que es un homomorfismo entre este dos maga grupo. Ademas es un isomorfismo (mira mas abajo), ya que ta satisface el de suyo inverso funcion, el natural logaritmo, con

${\displaystyle \ln(xy)=\ln(x)+\ln(y),}$

y es tambien un homomorfismo de dos maga grupo.

Maga ejemplo

Un homomorfismo ${\displaystyle f}$ de maga monoide, del monoide (N, +, 0) al monoide (N, ×, 1), definio por ${\displaystyle f(x)=2^{x}}$. Inyectivo, pero hinde sobreyectivo, tal funcion.

El maga real numero son un anillo, por tene con el adicion y el multiplicacion. El conjunto de todo el maga matriz 2×2 es un anillo tambien, bajo el matricial adicion y el matricial multiplicacion. Si ta defini kita con un funcion entre este dos maga anillo ansina:

${\displaystyle f(r)={\begin{pmatrix}r&0\\0&r\end{pmatrix}}}$

donde r es un real numero, entonces f es un homomorfismo de maga anillo, ya que ta preserva f con el adicion:

${\displaystyle f(r+s)={\begin{pmatrix}r+s&0\\0&r+s\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r&0\\0&r\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}s&0\\0&s\end{pmatrix}}=f(r)+f(s)}$

ademas del multiplicacion:

${\displaystyle f(rs)={\begin{pmatrix}rs&0\\0&rs\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r&0\\0&r\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}s&0\\0&s\end{pmatrix}}=f(r)\,f(s).}$

Para otro ejemplo, ta forma el maga complejo numero (distinto de cero) con un grupo bajo el operacion del multiplicacion, tal como el maga real numero (distinto de cero). (Hay que exclui con cero de ambo maga grupo porque ta carece cero de un multiplicativo inverso, requisito para el maga elemento de un grupo.) Ta defini kita con un funcion ${\displaystyle f}$, del maga complejo numero distinto de cero, al maga real numero distinto de cero, ansina:

${\displaystyle f(z)=|z|.}$

Es deci, ${\displaystyle f}$ es el absoluto valor (o modulo) del complejo numero ${\displaystyle z}$. Entonces${\displaystyle f}$ es un homomorfismo de maga grupo, ya que ta preserva ele con el multiplicacion:

${\displaystyle f(z_{1}z_{2})=|z_{1}z_{2}|=|z_{1}||z_{2}|=f(z_{1})f(z_{2}).}$

Nota que hinde extensible f a un homomorfismo de maga anillo (del maga complejo numero al maga real numero), ya que hinde ta preserva ele con el adicion:

${\displaystyle |z_{1}+z_{2}|\neq |z_{1}|+|z_{2}|.}$

Como otro ejemplo, ta mostra el diagrama mas arriba con un homomorfismo ${\displaystyle f}$ de maga monoide, del monoide ${\displaystyle (\mathbb {N} ,+,0)}$ al monoide ${\displaystyle (\mathbb {N} ,\times ,1)}$. Debio al maga diferente nombre del maga correspondiente operacion, na cuanto al mage propiedad del estructural preservacion satisfecho por ${\displaystyle f}$, ta equivale ellos a ${\displaystyle f(x+y)=f(x)\times f(y)}$ and ${\displaystyle f(0)=1}$.

Ta tene un algebra de composicion ${\displaystyle A}$ sobre un cuerpo ${\displaystyle F}$ con un cuadratico forma, llamao un norma, ${\displaystyle N:A\to F}$, cosa un homomorfismo de maga grupo del multiplicativo grupo de ${\displaystyle A}$ al multiplicativo grupo de ${\displaystyle F}$.

Maga especial homomorfismo

Ta tene manada tipo de maga homomorfismo, tambien definio para maga general morfismo.

Isomorfismo

Un isomorfismo entre maga algebraico estructura del mismo tipo, comunmente definio como un biyectivo homomorfismo.

Na el mas general contexto del teoria de maga categoria, definio un isomorfismo como un morfismo que ta tene con un inverso funcion tambien un morfismo. Na el especifico caso de maga algebraico estructura, equivalente el dos maga definicion, masquen puede diferente para maga hinde algebraico estructura, que ta tene con un subyacente conjunto.

Mas precisamente, si

${\displaystyle f:A\to B}$

es un (homo)morfismo, ta tene ele con un inverso si hay un homomorfismo

${\displaystyle g:B\to A}$

tal que

${\displaystyle f\circ g=\operatorname {Id} _{B}\qquad {\text{y}}\qquad g\circ f=\operatorname {Id} _{A}.}$

Si ta tene ${\displaystyle A}$ and ${\displaystyle B}$ con maga subyacente conjunto, y ta tene ${\displaystyle f:A\to B}$ con un inversg ${\displaystyle g}$, entonces biyectivo ${\displaystyle f}$. De hecho, inyectivo ${\displaystyle f}$, ya que ta implica ${\displaystyle f(x)=f(y)}$ con ${\displaystyle x=g(f(x))=g(f(y))=y}$, y sobreyectivo ${\displaystyle f}$, ya que, para cualquier ${\displaystyle x}$ na ${\displaystyle B}$, hay ${\displaystyle x=f(g(x))}$, y ${\displaystyle x}$ es el imagen de un elemento de ${\displaystyle A}$.

Na cambio, si ${\displaystyle f:A\to B}$ es a biyectivo homomorfismo entre maga algebraico estructura, ${\displaystyle g:B\to A}$ es el mapa tal que ${\displaystyle g(y)}$ es el distinto elemento ${\displaystyle x}$ of ${\displaystyle A}$ tal que ${\displaystyle f(x)=y}$. Ta tene uno con ${\displaystyle f\circ g=\operatorname {Id} _{B}{\text{ y }}g\circ f=\operatorname {Id} _{A},}$ y solo hay que demostra que g es un homomorfismo. Si ${\displaystyle *}$ es un binario operacion del estructura, para cada par ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ de maga elemento de ${\displaystyle B}$, ta tene uno con

${\displaystyle g(x*_{B}y)=g(f(g(x))*_{B}f(g(y)))=g(f(g(x)*_{A}g(y)))=g(x)*_{A}g(y),}$

ansina que compatible ${\displaystyle g}$ con ${\displaystyle *.}$ Debio a que similar el prueba para cualquiera aridad, ta demostra esto que ${\displaystyle g}$ es un homomorfismo.

Hinde ta funciona este prueba para maga hinde algebraico estructura. Por ejemplo, para maga topologico espacio, un morfismo es un continuo mapa, y hinde necesariamente continuo el inverso de un biyectivo continuo mapa. Un isomorfismo de maga topologico espacio, llamao un homeomorfismo o un bicontinuo mapa, es ansina un biyectivo continuo mapa, cuyo inverso tambien continuo.

Endomorfismo

Un endomorfismo es un homomorfismo cuyo dominio equivalente al codominio, o mas generalmente, un morfismo cuyo origen equivalente al de suyo destino.

Ta forma el maga endomorfismo de un algebraico estructura, o de un objeto de un categoria, con un monoide bajo composicion.

Ta forma el maga endomorfismo de un vectorial espacio o de un modulo con un anillo. En el caso de un vectorial espacio o un libre modulo de finito dimension, ta induci el eleccion de un base con un isomorfismo de maga anillo antre el anillo de maga endomorfismo y el anillo de maga cuadrao matriz del mismo dimension.

Automorfismo

Un automorfismo es un endomorfismo que tambien es un isomorfismo.

Ta forma el maga automorfismo de un algebraico estructura, o de un objeto de un categoria, con un grupo bajo composicion, llamao el grupo de maga automorfismo del estructura.

Manada grupo que ya recibi con un nombre son maga grupo de maga automorfismo de algun algebraico estructura. Por ejemplo, el general lineal grupo ${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(k)}$ es el grupo de maga automorfismo de un vectorial espacio de dimension ${\displaystyle n}$ sobre un cuerpo ${\displaystyle k}$.

Monomorfismo

Para maga algebraico estructura, tipicamente definio el maga monomorfismo como maya inyectivo homomorfismo.

Na el mas general contexto del teoria de maga categoria, definio un monomorfismo como un morfismo cancelativo izquierda morfismo. Ta significa esto que un (homo)morfismo es un monomorfismo si, para cualquier par ${\displaystyle g}$, ${\displaystyle h}$ de maga morfismo de cualquier otro objeto ${\displaystyle C}$ a ${\displaystyle A}$, entonces ta implica ${\displaystyle f\circ g=f\circ h}$ con ${\displaystyle g=h}$.

Equivalente este dos maga definicion de monomorfismo para todo maga comun algebraico estructura. Mas precisamente, equivalente ellos para maga cuerpo, para el maga cual cada homomorfismo un monomorfismo, y para maga variedad de universal algebra, es deci, maga algebraico estructura para el que definio el maga operacion y el maga axioma (maga identidad) sin cualquier restriccion (hinde ta forma el maga cuerpo con un variedad, ya que definio el multiplicativo inverso o como un unario operacion o como un propiedad del multiplicacion, que na ambo maga caso, definio para elemento hinde cero lang).

Na particular, equivalente el dos maga definicion de un monomorfismo para maga conjunto, maga magma, maga semigrupo, maga monoide, maga grupo, maga anillo, maga cuerpo, maga vectorial espacio y maga modulo.

Un partio monomorfismo es un homomorfismo que ta tene con un inverso izquierda y, de alla, es ansina mismo un inverso derecha de aquel otro homomorfismo. Es deci, un homomorfismo ${\displaystyle f\colon A\to B}$ es un partio monomorfismo si ta existi un homomorfismo ${\displaystyle g\colon B\to A}$ tal que ${\displaystyle g\circ f=\operatorname {Id} _{A}.}$ Un partio monomorfismo firmi un monomorfismo, para ambo maga acepcion de monomorfismo. Para maga conjunto y maga vectorial espacio, cada monomorfismo un partio monomorfismo, pero hinde verdadero este propiedad para el mayoria del maga comun algebraico estructura.

Prueba del equivalencia del dos maga definicion de maga monomorfismo

Cancelativo izquierda un inyectivo homomorfismo: Si ${\displaystyle f\circ g=f\circ h,}$ entonces hay ${\displaystyle f(g(x))=f(h(x))}$ para cada ${\displaystyle x}$ na ${\displaystyle C}$, el comun fuente de ${\displaystyle g}$ y ${\displaystyle h}$. Si inyectivo ${\displaystyle f}$, entonces ${\displaystyle g(x)=h(x)}$, ansina que ${\displaystyle g=h}$. Ta funciona este prueba, hinde lang para maga algebraico estructura, sino tambien para cualquier categoria cuyo maga objeto maga conjunto, y cuyo maga pana maga mapa entre aquel maga conjunto. Por ejemplo, un inyectivo continuo mapa es un monomorfismo na el categoria de maga topologico espacio. Para probar que, al contrario, inyectivo un cancelativo izquierda homomorfismo, util considera con un libre objeto na ${\displaystyle x}$. Para un variedad de maga algebraico estructura un libre objeto na ${\displaystyle x}$ es un par consistiendo na un algebraico estructura ${\displaystyle L}$ de este variedad y un elemento ${\displaystyle x}$ de ${\displaystyle L}$ que ta satisface con el siguiente universal propiedad: para cada estructura ${\displaystyle S}$ del variedad, y cada elemento ${\displaystyle s}$ de ${\displaystyle S}$, hay un distinto homomorfismo ${\displaystyle f:L\to S}$ tal que ${\displaystyle f(x)=s}$.Por ejemplo, para maga conjunto, el libre objeto na ${\displaystyle x}$ es simplemente ${\displaystyle \{x\}}$; para el maga semigrupo, el libre objeto na ${\displaystyle x}$ es ${\displaystyle \{x,x^{2},\ldots ,x^{n},\ldots \},}$ que, como un semigrupo, isomorfo al aditivo semigrupo del maga positivo entero; para el maga monoids, el libre objeto na ${\displaystyle x}$ es ${\displaystyle \{1,x,x^{2},\ldots ,x^{n},\ldots \},}$ que, como un monoide, isomorfo al aditivo monoide del hinde negativo entero; para el maga grupo, el libre objeto na ${\displaystyle x}$ es el infinito ciclico grupo ${\displaystyle \{\ldots ,x^{-n},\ldots ,x^{-1},1,x,x^{2},\ldots ,x^{n},\ldots \},}$ que, como un grupo, isomorico al aditivo grupo del maga entero; para el maga anillo, el libre objeto na ${\displaystyle x}$ es el anillo de maga polinomio ${\displaystyle \mathbb {Z} [x];}$ para el maga vectorial espacios o maga modulo, el libre objeto na ${\displaystyle x}$ es el vectorial espacio o libre modulo que ta tene con ${\displaystyle x}$ como base. Si ta existi un libre objeto sobre ${\displaystyle x}$, entonces inyectivo cada cancelativo izquierda homomorfismo is injective: ${\displaystyle f\colon A\to B}$ es un cancelativo izquierda homomorfismo, y ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$ son dos maga elemento de ${\displaystyle A}$ tal que ${\displaystyle f(a)=f(b)}$. Por definicion del libre objeto ${\displaystyle F}$, ta existi maga homomorfismo ${\displaystyle g}$ y ${\displaystyle h}$ de ${\displaystyle F}$ a ${\displaystyle A}$ tal que ${\displaystyle g(x)=a}$ y ${\displaystyle h(x)=b}$. Debio a que ${\displaystyle f(g(x))=f(h(x))}$, hay ${\displaystyle f\circ g=f\circ h,}$ por el unicidad na el definicion de un universal propiedad. Debio a que cancelativo izquierda ${\displaystyle f}$, hay ${\displaystyle g=h}$, y ansina ${\displaystyle a=b}$. Poreso, inyectivo ${\displaystyle f}$. Existencia de un libre objeto na ${\displaystyle x}$ para un variedad (mira tambien con Libre objeto § Existencia): Para construi con un libre objeto sobre ${\displaystyle x}$, considera con el conjunto ${\displaystyle W}$ del maga bien formao formula construio de ${\displaystyle x}$ y el maga operacion del estructura. Equivalente dos maga bien formao formula si posible muda del uno al otro aplicando con el maga axioma (maga identidad del estructura). Ta defini esto con un relacion de equivalencia, si el maga identidad hinde sujeto a maga condicion, es deci, si ta trabaja uno con un variedad. Entonces bien definio el maga operacion del variedad na el conjunto de maga clase de equivalencia de ${\displaystyle W}$ para este relacion. Facil demostra que el resultante objeto es un libre objeto on ${\displaystyle x}$.

Epimorfismo

Na el algebra, na manada situacion, definio el maga epimorfismo como maga sobreyectivo homomorfismo. Al otro lado, na el teoria de maga categoria, definio el maga epimorfismo como maga cancelativo izquierda morfismo. Ta significa esto que un (homo)morfismo ${\displaystyle f:A\to B}$ es un epimorfismo si, para cualquiera par ${\displaystyle g}$, ${\displaystyle h}$ de maga morfismo de ${\displaystyle B}$ a cualquier otro objeto ${\displaystyle C}$, ta implica el igualdad ${\displaystyle g\circ f=h\circ f}$ con ${\displaystyle g=h}$.

Firmi cancelativo izquierda un sobreyectivo homomorfismo, pero hinde firmi verdadero el converso para maga algebraico estructura. Sin embargo, equivalente el dos maga definicion para epimorfismo para maga conjunto, maga vectorial espacio, maga abeliano grupo, maga modulo (mira mas abajo para un prueba) y maga grupo. Puede explica el importancia de este maga estructura na todo el matematica —na especial na el lineal algebra y el homologico algebra—, con el coexistencia de dos maga hinde equivalente definicion.

Na cuanto a maga algebraico estructura para que ta existi maga hinde sobreyectivo epimorfismo, ta inclui ellos con maga semigrupo y maga anillo. El mas basico ejemplo es el inclusion del maga entero na el maga racional numero, que es un homomorfismo del maga anillo y del maga multiplicativo semigrupo. Para ambo maga estructura es un monomorfismo y un hinde sobreyectivo epimorfismo, pero hinde un isomorfismo.

Un amplio generalizacion de este ejemplo es el localizacion de un anillo por un multiplicativo conjunto. Cada localizacion es un epimorfismo de un anillo, por lo general hinde sobreyectivo. Debio a que fundamental el maga localizacion na el conmutativo algebra y el algebraico geometria, puede esto explica porque na este maga area, generalmente preferible el definicion del maga epimorfismo como maga cancelativo derecha homomorfismo.

Un 'partio epimorfismo es un homomorfismo que ta tene con un inverso derecha y, de alla, es ansina mismo un inverso izquierda de aquel otro homomorfismo. Es deci, un homomorfismo ${\displaystyle f\colon A\to B}$ es un partio epimorfismo si ta existi un homomorfismo ${\displaystyle g\colon B\to A}$ tal que ${\displaystyle g\circ f=\operatorname {Id} _{A}.}$ Un partio epimorfismo firmi un epimorfismo, para ambo maga acepcion de epimorfismo. Para maga conjunto y maga vectorial espacio, cada epimorfismo un partio epimorfismo, pero hinde verdadero este propiedad para el mayoria del maga comun algebraico estructura.

Na resumen, ta tene kita con

${\displaystyle {\text{partio epimorfismo}}\implies {\text{epimorfismo (sobreyectivo)}}\implies {\text{epimorfismo (cancelativo derecha)}};}$

el ultimo implicacion es un equivalencia para maga conjunto, maga vectorial espacio, maga modulo, maga abeliano grupo y maga grupo, mientras que el primer implicacion es un equivalencia para maga conjunto y maga vectorial espacio.

Equivalencia del dos maga definicion de epimorfismo

${\displaystyle f\colon A\to B}$ un homomorfismo. Ta desea kita proba que si hinde sobreyectivo ele, hinde cancelativo derecha. Na el caso de maga conjunto, ${\displaystyle b}$ es un elemento de ${\displaystyle B}$ que hinde ta pertenece a ${\displaystyle f(A)}$, y ta defini kita con ${\displaystyle g,h\colon B\to B}$ tal que ${\displaystyle g}$ es el funcion de identidad, y tal que ${\displaystyle h(x)=x}$ para cada ${\displaystyle x\in B,}$ con excepcion de que ${\displaystyle h(b)}$ es cualquier otro elemento de ${\displaystyle B}$. Claramente hinde cancelativo derecha ${\displaystyle f}$, ya que ${\displaystyle g\neq h}$ y ${\displaystyle g\circ f=h\circ f.}$ Na el vaso de maga vectorial espacio, maga abeliano grupo y maga modulo, ta confia el prueba na el existenia de maga cokernel y na el hecho de que el maga mapa cero maga homomorFismo: ${\displaystyle C}$ es el cokernel de ${\displaystyle f}$, y ${\displaystyle g\colon B\to C}$ el canonico mapa, tal que ${\displaystyle g(f(A))=0}$. ${\displaystyle h\colon B\to C}$ es el mapa cero. Si hinde sobreyectivo ${\displaystyle f}$, entonces ${\displaystyle C\neq 0}$, ansina que ${\displaystyle g\neq h}$ (el uno es un mapa cero, mientras el otro hinde). Ansina hinde cancelativo ${\displaystyle f}$, ya que ${\displaystyle g\circ f=h\circ f}$ (ambo maga son el mapa cero de ${\displaystyle A}$ a ${\displaystyle C}$).

Kernel

Artículo principal: Kernel (algebra).

Ta defini cualquier homomorfismo ${\displaystyle f:X\to Y}$ con un relacion de equivalencia ${\displaystyle \sim }$ na ${\displaystyle X}$ por ${\displaystyle a\sim b}$ si y solo si ${\displaystyle f(a)=f(b)}$. El relacion ${\displaystyle \sim }$ llamao el kernel de ${\displaystyle f}$. Es un relacion de congruencia na ${\displaystyle X}$. Entonces puede el conjunto cociente ${\displaystyle X/{\sim }}$ recibi con un estructura del mismo tipo como ${\displaystyle X}$, de natural modo, definiendo con el maga operacion del conjunto cociente por ${\displaystyle [x]\ast [y]=[x\ast y]}$, para cada operacion ${\displaystyle \ast }$ de ${\displaystyle X}$. Na aquel caso el imagen de ${\displaystyle X}$ na ${\displaystyle Y}$ bajo el homomorfismo ${\displaystyle f}$ es necesariamente isomorfo a ${\displaystyle X/\!\sim }$; este hecho uno del maga teorema de isomorfismo.

Cuando el algebraico estructura un grupo para algun operacion, ta basta el clase de equivalencia ${\displaystyle K}$ del neutro elemento de este operacion para caracteriza con el relacion de equivalencia. Na este caso, el cociente por el relacion de equivalencia denotao por ${\displaystyle X/K}$ (usualmente leido como "${\displaystyle X}$ mod ${\displaystyle K}$"). Ademas na este caso, ${\displaystyle K}$, embes de ${\displaystyle \sim }$, cosa llamao el kernel de ${\displaystyle f}$. Naturalmente ta tene algun estructura el maga kernel de maga homomorfismo de algun tipo de algebraico estructura. Este tipo de estructura del maga kernel es el mismo como el considerao estructura, na el caso de maga grupo abeliano, maga vectorial espacio y el maga modulo, pero diferente y ya recibi con maga especifico nombre na otro maga caso, como normal subgrupo para maga kernel de maga homomorfismo de maga grupo y ideal para maga kernel de maga homomorfismo de maga anillo (na el caso de hinde conmutativo anillo, el maga kernel el maga bilatero ideal).

Maga relacional estructura

Véase también: Relacional estructura.

Na el teoria de maga modelo, puede kita generaliza con el nocion de un algebraico estructura al maga estructura involucrando con maga operacion y maga relacion. L es un firma que ta consta de maga simbolo de funcion y relacion, y A y B dos maga estructura de L. Entonces un homomorfismo de A a B es un mapeo h del dominio de A al dominio de B tal que

• h(F^A(a₁,…,a_n)) = F^B(h(a₁),…,h(a_n)) para cada n-ario simbolo de funcion F na L,
• R^A(a₁,…,a_n) implies R^B(h(a₁),…,h(a_n)) para cada n-ario simbolo de relacion R na L.

Na el especial caso de un binario relacion lang, ta obtene kita con el nocion de un homomorfismo de maga grafo.

Teoria de maga formal lenguaje

Usao tambien el maga homomorfismo na el estudio de maga formal lenguaje y na manada situacion brevemente denominao como maga morfismo. Para maga alfabeto ${\displaystyle \Sigma _{1}}$ and ${\displaystyle \Sigma _{2}}$, un funcion ${\displaystyle h\colon \Sigma _{1}^{*}\to \Sigma _{2}^{*}}$ tal que ${\displaystyle h(uv)=h(u)h(v)}$ para todo ${\displaystyle u,v\in \Sigma _{1}}$ llamao un homomorfismo na ${\displaystyle \Sigma _{1}^{*}}$.^{[lower-alpha 2]} Si ${\displaystyle h}$ un homomorfismo na ${\displaystyle \Sigma _{1}^{*}}$ y ta denota ${\displaystyle \varepsilon }$ con el vacio cadena de maga caracter, entonce denominao ${\displaystyle h}$ como un homomorfismo libre de ${\displaystyle \varepsilon }$ cuando ${\displaystyle h(x)\neq \varepsilon }$ para todo ${\displaystyle x\neq \varepsilon }$ na ${\displaystyle \Sigma _{1}^{*}}$.

Un homomorfismo ${\displaystyle h\colon \Sigma _{1}^{*}\to \Sigma _{2}^{*}}$ na ${\displaystyle \Sigma _{1}^{*}}$ que ta satisface con ${\displaystyle |h(a)|=k}$ para todo ${\displaystyle a\in \Sigma _{1}}$ llamao un ${\displaystyle k}$-uniforme homomorfismo. Si ${\displaystyle |h(a)|=1}$ para todo ${\displaystyle a\in \Sigma _{1}}$ (es deci, ${\displaystyle h}$ es 1-uniforme), entonces ${\displaystyle h}$ llamao tambien un codificacion o un proyeccion.^{[cita requerida]}

Considerable el conjunto ${\displaystyle \Sigma ^{*}}$ de maga palabra formao del alfabeto ${\displaystyle \Sigma }$ como el libre monoide generao por ${\displaystyle \Sigma }$. Aqui el operacion de monoide es concatenacion y el neutro elemento es el vacio palabra. Desde este perspectiva, un homomorfismo de lenguaje es precisamente un homomorfismo de maga monoide.^{[lower-alpha 3]}

Mira tambien

• Cuasimorfismo
• Difeomorfismo
• Homomorfo cifrao
• Homomorfo secret sharing — un simplistico protocolo de descentralizao votacion
• Morfismo

Maga nota

1. Como na manada (pero hinde todo) situacion ta ocurri, aqui usao el mismo simbolo para el operacion de ${\displaystyle A}$ and ${\displaystyle B}$.
2. Ta denota el ∗ con el operacion de clausura de si Kleene, mientras que ta denota Σ^∗ con el conjunto de maga palabra formao del alfabeto Σ, incluyendo con el vacio palabra. Ta denota el yuxtaposicion de maga termino con concatenacion. Por ejemplo, ta denota h(u) h(v) con el concatenacion de h(u) con h(v).