Tronc de con

El tronc de con,^[1] con truncat^[2] o tronc de Garófalo és un sòlid de revolució generat per un trapezi rectangle en prendre com a eix de gir el costat perpendicular a les bases.

Tronc de con.

Model 3D del tronc de con.

Tronc de con.

El tronc de con és un sòlid de revolució.

Un tronc de con recte, de bases paral·leles, és la porció de con comprès entre dos plans que el tallen i són perpendiculars al seu eix. Queda determinat pels radis de les bases, ${\displaystyle r_{1}\,}$ i ${\displaystyle r_{2}\,}$, altura, ${\displaystyle h\,}$, i la generatriu, ${\displaystyle s\,}$, entre les quals es compleix la relació de l'teorema de Pitàgores:

${\displaystyle s^{2}=\left(r_{1}-r_{2}\right)^{2}+h^{2}}$

Àrea i volum

L'àrea lateral d'un tronc de con es pot trobar mitjançant la semisuma dels perímetres de les bases, per la generatriu:^[3][4]

${\displaystyle A_{L}={\frac {2\pi r_{1}+2\pi r_{2}}{2}}s}$

${\displaystyle A_{L}=\pi \left(r_{1}+r_{2}\right)s}$

L'àrea d'un tronc de con, la qual és l'àrea lateral més l'àrea de les bases superior i inferior, es pot trobar mitjançant la fórmula:

${\displaystyle A=A_{1}+A_{2}+A_{L}\,}$

${\displaystyle A=\pi r_{1}^{2}+\pi r_{2}^{2}+\pi \left(r_{1}+r_{2}\right)s}$

${\displaystyle A=\pi \left[r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+(r_{1}+r_{2}\right)s]}$

El volum d'un tronc de con es pot trobar utilitzant el producte entre l'altura del tronc i la mitjana heroniana de l'àrea de les bases:

${\displaystyle V={\frac {h}{3}}\left(A_{1}+A_{2}+{\sqrt {A_{1}A_{2}}}\right)\,}$

${\displaystyle V={\frac {h}{3}}\left(\pi r_{1}^{2}+\pi r_{2}^{2}+{\sqrt {\pi r_{1}^{2}\pi r_{2}^{2}}}\right)\,}$

${\displaystyle V={\frac {h\pi }{3}}(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+r_{1}r_{2})\,}$

Referències

1. «Tronc de con». Gran Enciclopèdia Catalana. Barcelona: Grup Enciclopèdia Catalana.
2. «Tronc de con». Gran Enciclopèdia Catalana. Barcelona: Grup Enciclopèdia Catalana.
3. Sapiña, R. «Calculadora de l'àrea i volum del tronc de con recte circular» (en castellà). Problemas y ecuaciones. ISSN: 2659-9899 [Consulta: 28 maig 2020].
4. «Frustum (mathwords.com)» (en anglès). [Consulta: 28 maig 2020].

Vegeu també

• Tronc (geometria)
• Tronc de piràmide
• Mitjana heroniana
• Con (geometria)

Enllaços externs

• Weisstein, Eric W., «Tronc de con» a MathWorld (en anglès).
• Derivation of formula for the volume of frustums of pyramid and cone (Mathalino.com)
• Problema sobre un tronc de con el·líptic i el seu volum