La transformada sinusoïdal discreta (DST), dins l'àmbit de la matemàtica, és una transformada relacionada amb Fourier similar a la transformada discreta de Fourier (DFT), però utilitzant una matriu purament real. És equivalent a les parts imaginàries d'una DFT d'aproximadament el doble de la longitud, que opera sobre dades reals amb una simetria estranya (ja que la transformada de Fourier d'una funció real i senar és imaginària i senar), on en algunes variants, l'entrada i/o la sortida, les dades es desplacen en mitja mostra.[1]
La DST està relacionada amb la transformada de cosinus discret (DCT), que és equivalent a una DFT de funcions reals i parelles. Generalment, el DST es deriva del DCT substituint la condició de Neumann a x=0 per una condició de Dirichlet.[2] Tant el DCT com el DST van ser descrits per Nasir Ahmed T. Natarajan i KR Rao el 1974.[3][4] El DST de tipus I (DST-I) va ser descrit posteriorment per Anil K. Jain el 1976, i el DST de tipus II (DST-II) va ser descrit després per HB Kekra i JK Solanka el 1978.[5]
Els DST s'utilitzen àmpliament per resoldre equacions diferencials parcials mitjançant mètodes espectrals, on les diferents variants del DST corresponen a condicions de límit senar/parell lleugerament diferents als dos extrems de la matriu.
Formalment, la transformada sinusoïdal discreta és una funció lineal i inversible F : R N -> R N (on R denota el conjunt de nombres reals), o equivalentment una matriu quadrada N × N . Hi ha diverses variants del DST amb definicions lleugerament modificades. Els N nombres reals x 0, x N − 1 es transformen en els N nombres reals X 0, X N − 1 segons una de les fórmules:
DST-I:
![{\displaystyle X_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}\sin \left[{\frac {\pi }{N+1}}(n+1)(k+1)\right]\quad \quad k=0,\dots ,N-1}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebbaf9d8750d87d0c1565cc7d4953c99d6eaf57e)
DST-II:
![{\displaystyle X_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}\sin \left[{\frac {\pi }{N}}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)(k+1)\right]\quad \quad k=0,\dots ,N-1}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ec4a97c9d25b6266d25cd0d66623125a8732469)
DST-III:
![{\displaystyle X_{k}={\frac {(-1)^{k}}{2}}x_{N-1}+\sum _{n=0}^{N-2}x_{n}\sin \left[{\frac {\pi }{N}}(n+1)\left(k+{\frac {1}{2}}\right)\right]\quad \quad k=0,\dots ,N-1}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaf69b9150d88dbb7ad408958aefaa7b3338ca50)
DST-IV:
![{\displaystyle X_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}\sin \left[{\frac {\pi }{N}}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\left(k+{\frac {1}{2}}\right)\right]\quad \quad k=0,\dots ,N-1}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d240979de077d6ef8b3b352dd1b2da2158fd1c88)
Wikiwand in your browser!
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.
