Teoremes de Castigliano

En mecànica, els Teoremes de Castigliano componen un mètode per determinar els desplaçaments d'un sistema elàstic basant-se en les derivades parcials de l'energia. El mètode porta el nom de l'enginyer i matemàtic italià Alberto Castigliano (1847-1884). Fou definit en 1875 i afegit a una obra inacabada de l'autor. El concepte bàsic es fàcil d'entendre, recordant que un canvi d'energia és igual a la força causant multiplicada pel desplaçament resultant.^[1]

Primer teorema de Castigliano

Sigui un sòlid elàstic ${\displaystyle K\in \mathbb {R} ^{3}}$ sobre el què actuen un conjunt de forces ${\displaystyle P_{1},...,P_{n}}$ aplicades cadascuna d'elles en els punts del sòlid ${\displaystyle A_{1},...,A_{n}}$. Denominem ${\displaystyle U(\delta _{1},...,\delta _{n})}$ a l'energia potencial elàstica en la qual ${\displaystyle \delta _{i}}$ és el desplaçament en el punt ${\displaystyle A_{i}}$ en la direcció de la força ${\displaystyle P_{i}}$. Aleshores, la força exercida ${\displaystyle P_{i}}$ en el punt ${\displaystyle A_{i}}$ està donada per:^[2]

${\displaystyle P_{i}={\frac {\partial U}{\partial \delta _{i}}}}$

Segon teorema de Castigliano

Sigui un sòlid elàstic ${\displaystyle K\in \mathbb {R} ^{3}}$ sobre el què actuen un conjunt de forces ${\displaystyle P_{1},...,P_{n}}$ aplicades cadascuna d'elles en els punts del sòlid ${\displaystyle A_{1},...,A_{n}}$. Denominem ${\displaystyle U(\delta _{1},...,\delta _{n})}$ a l'energia potencial elàstica en la qual ${\displaystyle \delta _{i}}$ és el desplaçament en el punt ${\displaystyle A_{i}}$ en la direcció de la força ${\displaystyle P_{i}}$. Aleshores, el desplaçament ${\displaystyle \delta _{i}}$ en el punt ${\displaystyle A_{i}}$ està donada per:^[3]

${\displaystyle \delta _{i}={\frac {\partial U}{\partial P_{i}}}}$

Referències

1. Rivera Amores, 2014, p. 328.
2. Celigüeta-Lizarza, 2011, p. 16-17.
3. Celigüeta-Lizarza, 2011, p. 30-32.

Bibliografia

• Celigüeta-Lizarza, Juan Tomás «Teoremas energéticos fundamentales del análisis estructural». DADUN Universidad de Navarra, 2011.
• Rivera Amores, Juan José. Mecànica de materials i càlcul d'estructures. Oficina de Publicacions acadèmiques de la UPC, 2014. ISBN 978-84-9880-453-9.

Enllaços externs

• «Castigliano's method». Academic Dictionaries and Encyclopedias. [Consulta: 4 gener 2018]. (anglès)