En teoria de nombres, el Teorema de von Staudt-Clausen (o Teorema de Staudt-Clausen) diu que:
on és un nombre de Bernoulli, és un nombre enter i els són els nombres primers que satisfan , és a dir que és divisor de .
Aquest teorema permet caracteritzar els denominadors de tots els nombres de Bernoulli, que sempre seran un producte de nombres primers (i, per tant, mai quadrats perfectes) i sempre seran divisibles per .
Exemples
Per exemple, per a , els nombres primers que compleixen la condició són , ja que divideixen , és a dir . Per tant:
Per , per exemple, és més senzill, ja que només els primers compleixen la condició (de fet i la compleixen sempre):
Història
El teorema va ser descobert independent i simultàniament pels matemàtics Karl von Staudt i Thomas Clausen el 1840. El teorema va ser redescobert a començaments del segle XX per Ramanujan i es pot demostrar utilitzant els nombres p-àdics.
Enllaços externs
- von Staudt-Clausen Theorem per Weisstein, Eric W. a MathWorld.
Wikiwand in your browser!
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.