Teorema de la bisectriu

El teorema per a bisectrius interiors

El teorema de la bisectriu relaciona els costats d'un angle d'un triangle i els dos segments en què la bisectriu d'aquest angle divideix el costat oposat:

Enunciat

Els costats d'un angle d'un triangle són proporcionals als dos segments en què la bisectriu d'aquest angle divideix el costat oposat.

Concreció en una figura

A la figura, la bisectriu ${\displaystyle b}$ de l'angle ${\displaystyle {\widehat {A}}}$ del triangle ${\displaystyle \triangle ABC}$ determina un punt ${\displaystyle M}$ en el costat ${\displaystyle BC}$ pel qual

${\displaystyle {\frac {\overline {AB}}{\overline {AC}}}={\frac {\overline {MB}}{\overline {MC}}}}$

Demostració

Pel vèrtex ${\displaystyle B}$ del triangle ${\displaystyle \triangle ABC}$ tirem una recta paral·lela a la bisectriu ${\displaystyle b}$, que talla la recta que conté el costat ${\displaystyle AC}$ en el punt ${\displaystyle X}$. Tenim dues rectes, ${\displaystyle CX}$ i ${\displaystyle CB}$ tallades per dues rectes paral·leles ${\displaystyle AM}$ i ${\displaystyle XB}$. Aleshores hi ha aquestes igualtats d'angles: ${\displaystyle {\widehat {MAC}}={\widehat {BXC}}=\alpha }$ perquè són angles corresponents, i ${\displaystyle {\widehat {BAM}}={\widehat {ABX}}=\beta }$ perquè són angles alterns interns Però, com que ${\displaystyle AM}$ és la bisectriu de l'angle ${\displaystyle {\widehat {A}}={\widehat {BAC}}}$, resulta ${\displaystyle \alpha =\beta }$ i el triangle ${\displaystyle \triangle BAX}$ és un triangle isòsceles. Per tant, ${\displaystyle {\overline {AB}}={\overline {AX}}}$.

D'altra banda, per ser ${\displaystyle AM}$ i ${\displaystyle XB}$ paral·lels, del teorema de Tales se'n dedueix:

${\displaystyle {\frac {\overline {AX}}{\overline {AC}}}={\frac {\overline {MB}}{\overline {MC}}}}$

o sigui,

${\displaystyle {\frac {\overline {AB}}{\overline {AC}}}={\frac {\overline {MB}}{\overline {MC}}}}$

com volíem demostrar^[1].

El teorema per a bisectrius exteriors

Per a bisectrius exteriors d'un triangle hi ha un enunciat del tot paral·lel:

Enunciat

Els costats d'un angle d'un triangle són proporcionals als dos segments què una bisectriu exterior d'aquest angle determina en el costat oposat.

Concreció en una figura

A la figura, la bisectriu ${\displaystyle b'}$ de l'angle ${\displaystyle {\widehat {A}}}$ del triangle ${\displaystyle \triangle ABC}$ determina un punt ${\displaystyle M}$ en el costat ${\displaystyle BC}$ pel qual

${\displaystyle {\frac {\overline {AB}}{\overline {AC}}}={\frac {\overline {M'B}}{\overline {M'C}}}}$

Demostració

Com abans, pel vèrtex ${\displaystyle B}$ del triangle ${\displaystyle \triangle ABC}$ tirem una recta paral·lela a la bisectriu ${\displaystyle b'}$, que talla el costat ${\displaystyle AC}$ en el punt ${\displaystyle X}$. Tenim dues rectes, ${\displaystyle CA}$ i ${\displaystyle CM'}$ tallades per dues rectes paral·leles ${\displaystyle AM'}$ i ${\displaystyle XB}$. Aleshores hi ha aquestes igualtats d'angles: ${\displaystyle {\widehat {AXB}}={\widehat {YAM'}}=\alpha }$ perquè són angles corresponents, i ${\displaystyle {\widehat {M'AB}}={\widehat {XBA}}=\beta }$ perquè són angles alterns interns Però, com que ${\displaystyle AM'}$ és la bisectriu de l'angle ${\displaystyle {\widehat {YAB}}}$, resulta ${\displaystyle \alpha =\beta }$ i el triangle ${\displaystyle \triangle BAX}$ és un triangle isòsceles. Per tant, ${\displaystyle {\overline {AB}}={\overline {AX}}}$.

D'altra banda, per ser ${\displaystyle AM'}$ i ${\displaystyle XB}$ paral·lels, del teorema de Tales se'n dedueix:

${\displaystyle {\frac {\overline {AX}}{\overline {AC}}}={\frac {\overline {M'B}}{\overline {M'C}}}}$

o sigui,

${\displaystyle {\frac {\overline {AB}}{\overline {AC}}}={\frac {\overline {M'B}}{\overline {M'C}}}}$

com volíem demostrar.

Vegeu també

• Circumferència d'Apol·loni