Teorema de Fejér

En matemàtiques, i més precisament en anàlisi, el teorema de Fejér és un dels resultats principals de la teoria de sèries de Fourier. Proporciona propietats de convergència molt generals per a la sèrie de Fourier, ja que s'utilitza el procés de suma de Cesàro. El teorema va ser demostrat el 1900 pel matemàtic hongarès Lipót Fejér (1880-1959).^[1][2]

Enunciat

Sigui f una funció localmen integrable t i 2π-periòdica. Escrivim

${\displaystyle S_{n}(f)(x):=\sum _{k=-n}^{n}c_{k}(f)\mathrm {e} ^{\mathrm {i} kx}}$

el terme d'ordre n de la sèrie de Fourier, amb

${\displaystyle c_{k}(f):={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} kt}\,\mathrm {d} t}$,

llavors

${\displaystyle \sigma _{N}(f)\colon x\longmapsto {\frac {1}{N+1}}\sum _{n=0}^{N}S_{n}(f)(x)}$

són les successives mitjanes de Cesàro dels termes de la sèrie de Fourier. A continuació, disposem de les afirmacions següents:

• Teorema de Fejér, versió uniforme :

  Si f es una funció contínua, llavors la sèrie de funcions ${\displaystyle \sigma _{N}(f)}$ convergeix uniformement cap a la funció f, amb a més, per a tot N,

  ${\displaystyle \|\sigma _{N}(f)\|_{\infty }\leqslant \|f\|_{\infty }}$ ;

• Teorema de Fejér, versió L^p ${\displaystyle (1\leqslant p<+\infty )}$, també anomenat Teorema de Fejér-Lebesgue :

  Si f pertany a l'espai L^p, llavors la sèrie de funcions ${\displaystyle \sigma _{N}(f)}$ convergeix cap a la funció f en sentit de la norma ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$, amb a més, per a tot N,

  ${\displaystyle \|\sigma _{N}(f)\|_{p}\leqslant \|f\|_{p}}$.

Una forma més general del teorema s'aplica a funcions que no necessàriament són contínues.^[3] Suposem que f es troba en L¹(-π,π). Si els límits de l'esquerra i de la dreta f(x₀±0) de f(x) existeixen a x₀, o si els dos límits són infinits del mateix signe, llavors

${\displaystyle \sigma _{n}(x_{0})\to {\frac {1}{2}}\left(f(x_{0}+0)+f(x_{0}-0)\right).}$

També existeix una existència o divergència a l'infinit de la mitjana de Cesàro..^[4]

Aplicacions

Com a conseqüència del teorema de Fejér es poden obtenir molts resultats sobre la sèrie de Fourier. A les proposicions següents, totes les funcions considerades són 2π-periòdiques.

• L'aplicació a una funció integrable que associa els seus coeficients de Fourier és injectiva.

La injectivitat s'ha d'entendre a l'espai L{{1}}, és a dir, dues funcions amb els mateixos coeficients de Fourier són iguals gairebé a tot arreu. En el cas de dues funcions contínues, són iguals.

• El teorema uniforme de Fejér constitueix una de les possibles proves del teorema de Weierstrass trigonomètric: si f és una funció contínua, hi ha una seqüència de polinomis trigonomètrics que conflueixen uniformement cap a f. De la mateixa manera, el teorema de Fejér-Lebesgue demostra la densitat de l'espai dels polinomis trigonomètrics als diferents espais L^p.
• Si f és contínua i si la seva sèrie de Fourier convergeix fins a un punt x, de manera que ella necessàriament convergeix f (x).

S'ha de comparar amb el comportament de la sèrie de Taylor d'una funció, que molt bé pot convergir a un valor diferent al valor de la funció.

• Podem utilitzar el teorema de Fejér per demostrar una versió uniforme del teorema de Jordan-Dirichlet: si f és una funció variada delimitada i contínua, la sèrie de Fourier f convergeix uniformement cap a f.

Referències

1. Fejér, Lipót. Sur les fonctions intégrables et bornées (en francès). C.R. Acad. Sci. Paris (CRAS Paris), 10 de desembre de 1900, p. 984-987.
2. Fejér, Leopold. «Untersuchungen über Fouriersche Reihen» (en alemany) p. 51-69. Math. Annalen, 1904.
3. Zygmund, 1968, Theorem III.3.4.
4. Zygmund, 1968, Theorem III.5.1.

Bibliografia

• Zygmund, Antoni. Trigonometric series (en anglès). 2. Cambridge University Press, 1968. ISBN 978-0-521-35885-9.