article de llista de Wikimedia From Wikipedia, the free encyclopedia
Aquest article és un resum de les regles de derivació, és a dir, les regles que es fan servir en càlcul infinitesimal per a calcular la derivada d'una funció a partir de les derivades de les funcions base que es troben a la taula de derivades i que combinades entre elles amb combinacions lineals, productes o, composicions formen les funcions elementals.
Tret que es digui alta cosa, totes les funcions ho seran de R en R, to i que, les fórmules de més avall es poden aplicar de forma més general sempre que estiguin ben definides.
Per a qualsevol parell de funcions f i g i qualsevol parella de nombres reals a i b.
En altres paraules, la derivada de la funció h(x) = a f(x) + b g(x) respecte de x és
Emprant la notació de Leibniz això s'escriu
Casos particulars d'aquesta regla són:
Per a qualsevol parella de funcions f i g,
En altres paraules, la derivada de la funció h(x) = f(x) g(x) respecte de x és
En notació de Leibniz això s'escriu
Fixeu-vos que la derivada d'un producte dona la suma de dos productes, per a calcular la derivada segona caldrà aplicar la linealitat de la derivació i la regla del producte altre cop. Pel cas de la derivada enèsima es pot aplicar la regla del producte generalitzada que adopta un aspecte anàleg al binomi de Newton però cal parar compte perquè els superíndex en comptes de potències són derivades d'ordre superior:
Aquesta regla serveis per a calcular la derivada d'una funció d'una funció, és a dir de la funció funció composta d'altres dues funcions f i g:
En altres paraules, la derivada de la funció h(x) = f(g(x)) respecte de x és
En notació de Leibniz això s'escriu (de forma molt suggeridora):
Si f i g són funcions, llavors:
La forma més fàcil de demostrar-ho és plantejant que el numerador és igual al quocient multiplicat pel denominador, aplicar la regla del producte i aïllar la derivada del quocient.
Per a qualsevol funció f, (a tot arreu on no valgui zero), la derivada de la funció 1/f (que a cada punt x val 1/f(x)) és
En altres paraules, la derivada de h(x) = 1/f(x) és
En notació de Leibniz, això s'escriu
(És un cas particular de la regla del quocient quan la funció del numerador és la funció constant )
No s'ha de confondre amb la regla de la raó inversa d'una funció: la raó inversa 1/x d'un nombre real no nul x és la seva inversa respecte de la multiplicació, mentre que la inversa d'una funció és la seva inversa respecte de la composició de funcions.
Si la funció f é inversa g = f−1 (de forma que g(f(x)) = x i f(g(y)) = y) llavors
En notació de Leibniz, això s'escriu (de forma molt suggeridora) com
La regla de la potenciació més general és la regla de la potenciació funcional: per a qualsevol parella de funcions f i g,
A tot arreu on les expressions de tots dos cantons estiguin ben definides.
La derivada logarítmica és una altra forma d'establir la regla per a calcular el logaritme d'una funció (fent servir la regla de la cadena):
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.