Linealitat de la derivació

En matemàtiques, la linealitat de la derivació és una de les propietats fonamentals de la derivada.^[1] És un resultat directe de l'aplicació de la regla de la derivada de la suma i de la regla de la derivada del producte per una constant. Per tant, es pot dir que la derivació és lineal, o que l'operador derivada és un operador lineal.

Sian f i g funcions, amb ${\displaystyle \alpha }$ i ${\displaystyle \beta }$ constants. Es considera:

${\displaystyle {\frac {\mbox{d}}{{\mbox{d}}x}}(\alpha \cdot f(x)+\beta \cdot g(x))}$

Per la regla de la derivada de la suma, això és equivalent a:

${\displaystyle {\frac {\mbox{d}}{{\mbox{d}}x}}(\alpha \cdot f(x))+{\frac {\mbox{d}}{{\mbox{d}}x}}(\beta \cdot g(x))}$

Per la regla de la derivada del producte per una constant, queda:

${\displaystyle \alpha \cdot f'(x)+\beta \cdot g'(x)}$

És a dir:

${\displaystyle {\frac {\mbox{d}}{{\mbox{d}}x}}(\alpha \cdot f(x)+\beta \cdot g(x))=\alpha \cdot f'(x)+\beta \cdot g'(x)}$

O escrit d'una altra manera:

${\displaystyle (\alpha \cdot f+\beta \cdot g)'=\alpha \cdot f'+\beta \cdot g'}$

Referències

1. Blank, Brian E.; Krantz, Steven George. Calculus: Single Variable (en anglès). Springer Science & Business Media, 2006. ISBN 9781931914598.