From Wikipedia, the free encyclopedia
Si és un endomorfisme sobre un espai de Banach complex , hom anomena radi espectral de , denotat , el radi de la bola tancada més petita de centre 0 que conté tots els valors espectrals de . Sempre té un valor inferior o igual a la norma operacional de .
En dimensió finita, per un endomorfisme amb valors propis complexes , el radi espectral és igual a .
En conseqüència, per a tota norma matricial N, és a dir, per a tota àlgebra normada sobre (respectivament ) i per a tota matriu A de (respectivament ), es té que .
Demostració |
---|
Sigui un valor propi de , i sigui un valor propi associat a . Denotem per la matriu quadrada on la primera columna és i les altres columnes són nul·les. Tenim que ; per tant, . Aquesta expressió la podem simplificar per , ja que el vector és no nul. |
A més, hem demostrat que , la fita inferior presa sobre el conjunt de les normes subordinades, i d'aquí també sobre les àlgebres normades.
El teorema de Gelfand ens diu que el radi espectral d'un endomorfisme ve donat per la fórmula
Per un operador normal (en particular per un operador autoadjunt) sobre un espai de Hilbert H, el radi espectral és igual a la norma operacional. D'aquí, hom dedueix que per tot operador A sobre H, .
El radi espectral pot ser estrictament inferior a la norma operacional. Per exemple, la matriu té un radi espectral 0, però , d'on (més precisament, perquè es té ).
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.