Perpendicularitat

En geometria, la perpendicularitat és una relació entre dues varietats que es produeix quan formen un angle de 90° (angle recte, angle normal).

La semirrecta AB és perpendicular a la recta CD, perquè els dos angles que conforma són de 90 graus (en taronja i blau, respectivament)

A ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, existeixen les següents combinacions que donen angles rectes:

Rectes: 2 rectes que es tallen (són per tant al mateix pla) formen a la vegada 4 angles rectes. Aquest és l'únic cas que existeix també a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$.

Cal dir que una recta té infinites rectes perpendiculars passant per cadascun dels seus punts que estan contingudes en un pla. 2 rectes són perpendiculars si, i només si, el producte escalar dels seus vectors directors és igual a 0.

Recta-Pla: Aquesta relació és única, per cada punt d'una recta només existeix un pla perpendicular i per cada punt del pla una recta perpendicular. La recta que compleix això és la recta normal al pla.

Plans: Per cada punt d'un pla hi ha una infinitat de plans perpendicular i tots ells contenen la recta perpendicular al pla.

Dos plans són perpendiculars si, i només si, els seus vectors normals també ho són.

Línies perpendiculars en el pla xy

En un sistema de coordenades cartesià, les equacions de 2 línies rectes no verticals ${\displaystyle L}$ i ${\displaystyle M}$ són:

${\displaystyle L:y=ax+b,}$

${\displaystyle M:y=cx+d,}$

${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle c}$ són anomenades pendents de L i M.

Les línies seran perpendiculars si, i només si, satisfan la condició:^[1]

${\displaystyle a*c=-1}$.

Exemple

Les rectes ${\displaystyle y=3x-2}$ i ${\displaystyle y=1-x/3}$ són perpendiculars ja que el producte de les seves pendents és -1.

Construcció geomètrica d'una línia perpendicular

Construcció geomètrica d'una línia perpendicular (en blau) a AB passant pel punt P.

Procediment per construir la línia perpendicular a AB passant pel punt P usant compàs i regle:

• Pas 1 (vermell): construïu un cercle amb centre P per crear els punts equidistants A' i B' a les interseccions amb AB.

• Pas 2 (verd): construïu sengles cercles centrats a A' i B', passant per P. Sia Q l'altre punt d'intersecció dels dits cercles.
• Pas 3 (blau): connecteu P i Q per construir la perpendicular PQ.

Demostració: Els triangles PQA' i PQB' són congruents doncs tenen tots tres costats iguals. Els triangles POA' i POB' també són congruents en ser OPB' i OPA' angles iguals. Això implica que els angles POA' i POB' són iguals i rectes.

Vegeu també

• Ortogonal
• Paral·lelisme

Referències

1. Sapiña, R. «Paral·leles i perpendiculars» (en castellà). Problemes i equacions. ISSN: 2659-9899 [Consulta: 20 febrer 2020].

Enllaços externs

• Perpendiculars (anglès)