Nombre quàntic magnètic

El nombre quàntic magnètic (símbol m_l), és un dels quatre nombres quàntics necessaris per a descriure l'estat de cada electró d'un àtom. Els altres nombres quàntics necessaris per a descriure l'estat d'un electró són: el nombre quàntic principal (amb símbol n), el nombre quàntic azimutal (ℓ) i el nombre quàntic d'espín (s). El nombre quàntic magnètic distingeix els orbitals atòmics disponibles dins d'una capa d'electrons i es fa servir per calcular el component azimutal de l'orientació de l'orbital a l'espai. Els electrons en una determinada capa (per exemple s, p, d o f) prenen certs valors en ℓ (0, 1, 2, o 3, respectivament). Aleshores, els valors possibles de m_l són: -ℓ, -ℓ+1, ..., 0, ..., ℓ-1, ℓ. Per tant, les capes s, p, d i f tenen valors de m_l dins dels rangs 0, ±1, ±2, ±3 respectivament, tenen per tant 1, 3, 5 i 7 orbitals respectivament. Cadascun d'aquests orbitals poden tenir fins a dos electrons (cadascun amb espins oposats) el que forma la base de la taula periòdica.

Derivació

Aquests orbitals tenen nombres quàntics orbitals (d'esquerra a dreta): ${\displaystyle m=-\ell ,\ldots ,\ell }$ en ordre ascendent. La dependència ${\displaystyle e^{mi\phi }}$ amb el component azimutal es pot veure a la figura fixant-se en el gradient de colors que es repeteix m-cops al girar al voltant de l'eix vertical.

Hi ha un conjunt de nombres quàntics associats amb els estats d'energia dels electrons a l'àtom. Aquests són els tres nombres atòmics: ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle \ell }$, ${\displaystyle m_{l}}$ i, en el cas que sigui present un camp magnètic, el nombre quàntic ${\displaystyle s}$. Aquests quatre nombres quàntics especifiquen de forma completa, unívoca i única l'estat quàntic d'un electró en un àtom i per tant la seva funció d'ona. L'equació de Schrödinger per la funció d'ona d'un àtom amb un sol electró és una equació diferencial parcial separable (això no és possible per àtoms amb més d'un electró com l'heli on es necessiten altres mètodes més sofisticats per a trobar una solució.^[1] Això significa que la funció d'ones expressada en el sistema de coordenades esfèriques pot ser expressada com el producte de tres funcions on cadascuna depenen d'una de les variables: radi, angle polar i azimut.^[2]

${\displaystyle \psi (r,\theta ,\phi )=R(r)P(\theta )F(\phi )}$

L'equació diferencial per ${\displaystyle F}$ es pot resoldre amb una solució tipus ${\displaystyle F(\phi )=Ae^{\lambda \phi }}$. Donat que els valors d'angle azimut ${\displaystyle \phi }$ que difereixen en 2${\displaystyle \pi }$ (360 graus en radians) representen la mateixa posició a l'espai i que per tant la magnitud de ${\displaystyle F}$ no ha de créixer de forma arbitràriament gran, el coeficient ${\displaystyle \lambda }$ ha de ser quantitzat amb nombres sencers múltiples de ${\displaystyle i}$, obtenint així un exponent imaginari: ${\displaystyle \lambda =im_{l}}$.^[2] Aquests nombres sencers són els nombres quàntics magnètics. La mateixa constant apareix en l'equació de l'angle polar, on valors més alts de ${\displaystyle m_{l}}$² fan decréixer la magnitud de ${\displaystyle P(\theta )}$ i els valors de ${\displaystyle m_{l}}$ més grans que del nombre quàntic azimutal, ${\displaystyle \ell }$, no permeten cap solució per ${\displaystyle P(\theta )}$.

Relació entre Nombres Quàntics
Orbital	Valors Permesos	Nombre de Valors per ${\displaystyle m}$[3]	Electrons per capa
s	${\displaystyle \ell =0,\quad m_{l}=0}$	1	2
p	${\displaystyle \ell =1,\quad m_{l}=-1,0,+1}$	3	6
d	${\displaystyle \ell =2,\quad m_{l}=-2,-1,0,+1,+2}$	5	10
f	${\displaystyle \ell =3,\quad m_{l}=-3,-2,-1,0,+1,+2,+3}$	7	14
g	${\displaystyle \ell =4,\quad m_{l}=-4,-3,-2,-1,0,+1,+2,+3,+4}$	9	18

Com a component del moment angular

Il·lustració del moment angular orbital quàntic. Els cons i el plans representen les possibles orientacions del vector moment angular per ${\displaystyle \ell =2}$ i ${\displaystyle m=-2,-1,0,1,2}$. Fins i tot per valors extrems de ${\displaystyle m}$, el component ${\displaystyle z}$ d'aquest vector és menor que la seva magnitud total.

L'eix emprat aquí per les coordenades polars s'han escollit arbitràriament. El nombre quàntic ${\displaystyle m}$ fa referència a la projecció del moment angular a aquesta direcció escollida arbitràriament que per convenció s'anomena eix de quantització ${\displaystyle z}$. ${\displaystyle L_{z}}$, la magnitud del moment angular en la direcció ${\displaystyle z}$, ve donada per la fórmula :^[3]

${\displaystyle L_{z}=m_{l}\hbar }$.

Aquest és un component del moment angular total de l'electró atòmic ${\displaystyle \mathbf {L} }$, la magnitud del qual es relaciona amb el nombre quàntic azimutal de la seva capa ${\displaystyle \ell }$ per l'equació:

${\displaystyle L=\hbar {\sqrt {\ell (\ell +1)}}}$,

on ${\displaystyle \hbar }$ és la constant de Planck reduïda. Cal notar que ${\displaystyle L=0}$ per ${\displaystyle \ell =0}$ i que s'aproxima a ${\displaystyle L=\left(\ell +{\tfrac {1}{2}}\right)\hbar }$ per valors elevats de ${\displaystyle \ell }$. No és possible mesurar el moment angular de l'electró per tots tres eixos simultàniament. Aquestes propietats van ser demostrades per primer cop a l'experiment de Stern–Gerlach.

Efecte en camps magnètics

El nombre quàntic ${\displaystyle m}$ fa referència, de forma vaga, a la direcció del vector moment angular. El nombre quàntic magnètic ${\displaystyle m}$ només afecta a l'energia del electró si està immers en un camp magnètic perquè en la seva absència, tots els harmònics esfèrics corresponents als diferents valors arbitraris de ${\displaystyle m}$ són equivalents. El nombre magnètic quàntic determina el canvi d'energia d'un orbital atòmic degut al camp magnètic extern, efecte Zeeman. D'aquí ve el nom de nombre magnètic quàntic. No obstant, el moment magnètic d’un electró d’un orbital atòmic no només s'origina del seu moment angular, també del seu espín, nombre quàntic d'espín.

Donat que en un camp magnètic cada electró té un moment magnètic, aquest estarà subjecte a un parell de forces que tendeix a fer el vector ${\displaystyle \mathbf {L} }$ paral·lel al camp. Aquest fenomen es coneix com precessió de Larmor.

Referències

1. «Helium àtom» (en anglès). [Consulta: 23 març 2021].
2. «Hydrogen Schrodinger Equation» (en anglès). hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
3. Herzberg, Gerhard. Molecular Spectra and Molecular Structure (en anglès). D van Nostrand Company, 1950, p. 17-18.

Bibliografia

• Eisberg, Robert; Resnick, Robert. Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei, and Particles. 2nd. Wiley, 1985. ISBN 978-0-471-87373-0.