From Wikipedia, the free encyclopedia
El mòdul de torsió o moment de torsió o inèrcia torsional és una propietat geomètrica de la secció transversal d'una biga o prisma mecànic que relaciona la magnitud del moment torsor amb les tensions tangencials sobre la secció transversal. Aquest mòdul es designa per J i apareix en les equacions que relacionen les tensions tangencials associatives, el moment torsor (Mx) i la funció de l'alabeig unitari (ω), aquesta relació ve donada aproximadament per les dues equacions següents:
I on són les coordenades del centre de tallant de la secció.
Per una peça prismàtica recta de secció constant torsionanda aplicant un moment torsor constant a través dels seus extrems el mòdul de torsió es relaciona amb l'angle girat i la longitud total de la peça mitjançant l'expressió:
on G és el mòdul d'elasticitat transversal del material de la peça.
Per a una secció circular o circular buida el mòdul de torsió coincideix amb el moment d'inèrcia polar, és a dir, coincideix amb la suma dels dos segons moments d'àrea de la secció transversal:
Per a una secció rectangular de dimensions b i h ( b < h ), el mòdul de torsió ve donat per l'expressió:[1]
Per a una secció triangular equilàtera d'alçada h i banda L , el mòdul de torsió ve donat per l'expressió:[2]
On el moment d'inèrcia polar ve donat per:
Determinar el mòdul de torsió d'una secció requereix conèixer el alabeig unitari ω de la secció i la posició del centre de tallant. El càlcul del alabeig unitari o seccional, en general és un problema no elemental, resoldre un problema de von Neumann sobre la secció per a la qual es busca el mòdul de torsió. Un cop coneguda la funció de alabeig unitari, només cal calcular:
(1)
Equivalententemente el mòdul de torsió es pot calcular a partir de les fórmules anteriors, arribant-se a l'expressió compacta:
Si la secció té dos eixos de simetria perpendiculars el càlcul anterior se simplifica una mica, ja que, llavors i el alabeig unitari és una funció de simetria definida.
La determinació del mòdul de torsió d'una secció general és un problema matemàtic complex que requereix fer ús de les fórmules en(), però, per a cert tipus de seccions es pot obtenir un resultat satisfactori usant algun mitjà alternatiu. Per exemple per a peces buides o en canal de paret prima, com ho són la pràctica totalitat de les seccions usades en construcció metàl·lica, pot aproximar la secció transversal mitjançant una corba (oberta o tancada) i un cert gruix al voltant de la corba. A causa del diferent comportament del "flux" de tensions tangencials al llarg de la secció han de distingir tres casos:
En aquest cas el mòdul de torsió es pot obtenir integrant el gruix a la galleda al llarg de la corba mitjana que defineix la secció transversal:
Si el perfil té ramificacions, com succeeix en les seccions en R o H llavors l'última integral de longitud s'estén sobre cadascuna de les branques.
En aquest cas el flux de tensions és aproximadament constant al llarg del gruix de la paret que conforma la secció. Trucant A a l'àrea tancada per la corba mitjana que defineix la secció i al seu perímetre, el mòdul de torsió ve donat per la fórmula d'Bredt:
Si la secció està formada per una corba simple tancada més algunes ramificacions que no constitueixen corbes tancades, el mòdul de torsió pot obtenir sumant la contribució de la corba que tanca una àrea i les branques:
Aquest cas és més complicat que l'anterior i la fórmula ve donada per una generalització de la fórmula de Bredt. Si la secció tanca com a màxim una àrea A , formada per n subàrees o panells que contenen cada un una àrea A i [sent el cas òbviament que A = A 1 +...+ A n ] ia més hi ha m ramificacions com en el cas antrior el mòdul de torsió ve donat per:
On els coeficienes que apareixen a la fórmula anterior són els coeficients de la matriu sent:
Per a peces de gran inèrcia torsional, la torsió és de tipus de Saint-Venant pura o dominant. A més, com que el mòdul de torsió ha de ser independent del sistema d'eixos elegit, es pot construir com una funció dels invariants algebraics que es poden formar a partir de l'àrea i els moments d'àrea de la secció transversal de la peça. El 1855 Saint-Venant va proposar una fórmula que complia aquest requeriment i que dona bons resultats per a la majoria de seccions massisses:
On el valor de es pren freqüentment entre 35 i 40, l'única restricció que s'imposa normalment a l'ús d'aquesta fórmula és que la secció transversal sigui convexa.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.