Impedància acústica

La impedància acústica i la impedància acústica específica són mesures de la resistència que un sistema presenta a la fluïdesa acústica resultant d'una pressió acústica aplicada a un sistema. L'unitat del SI de la impedància acústica és el pascal segon per metre cúbic (Pa·s/m³) o el rayl per metre quadrat (rayl/m²), mentre que per la impedància acústica és el pascal segon per metre (Pa·s/m) o el rayl.^[1] En aquest article el símbol rayl denota el MKS rayl.

Impedància acústica

Símbol	${\displaystyle Z_{\mathrm {ac} }}$
Anàlisi dimensional	M·L-2.T-1
Unitats	pascal segon per metre (Pa·s/m)
Fórmula	${\displaystyle Z_{\mathrm {a} }={\frac {\bar {p}}{q}}}$

Existeix una analogia directa amb la impedància elèctrica, la qual mesura la resistència que un sistema presenta a una corrent elèctrica resultant d'un voltatge elèctric aplicat al sistema.

Definicions matemàtiques

Impedància acústica

Per sistemes lineals invariants en el temps, la relació entre la pressió acústica aplicada al sistema i el flux volumètric a través d'una superfície perpendicular a la direcció d'aquesta pressió al punt d'aplicació és donada per:

${\displaystyle p(t)=[R*Q](t)}$,

o equivalentment:

${\displaystyle Q(t)=[G*p](t)}$,

on

• p és la pressió acústica;
• Q és el flux volumètric acústic;
• ${\displaystyle *}$ és l'operació de convolució;
• R és la resistència acústica en el domini temporal;
• G=R⁻¹ és la conductància acústica en el domini temporal (R^-1 és la convolució inversa de R).

La impedància acústica, denotada Z, és la transformada de Laplace, o la transformada de Fourier, o la representació analítica del domini temporal de la resistència acústica: ^[1]

${\displaystyle Z(s){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {L}}[R](s)={\frac {{\mathcal {L}}[p](s)}{{\mathcal {L}}[Q](s)}},}$

${\displaystyle Z(\omega ){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {F}}[R](\omega )={\frac {{\mathcal {F}}[p](\omega )}{{\mathcal {F}}[Q](\omega )}},}$

${\displaystyle Z(t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}R_{\mathrm {a} }(t)={\frac {1}{2}}\!\left[p_{\mathrm {a} }*\left(Q^{-1}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(t),}$

on

• ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ és l'operador de la transformada de Laplace;
• ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ és l'operador de la transformada de Fourier;
• subíndex "a" és la representació analítica de l'operador;
• Q ⁻¹ és la convolució inversa de Q.

La resistència acústica, denotada R, i la reactància acústica, denotada X, són la part real i la part imaginària de la impedància acústica, respectivament.

${\displaystyle Z(s)=R(s)+iX(s),}$

${\displaystyle Z(\omega )=R(\omega )+iX(\omega ),}$

${\displaystyle Z(t)=R(t)+iX(t),}$

on

• i és l'unitat imaginària;
• a Z(s), R(s) no és la transformada de Laplace del domini temporal de la resistència acústica R(t), la Z(s) l'és;
• a Z(ω), R(ω) no és la transformada de Fourier del domini temporal de la resistència acústica R(t), la Z(ω) l'és;
• a Z(t), R(t) és el domini temporal de la resistència acústica i X(t) és la transformada de Hilbert del domini temporal de la resistència acústica R(t), segons la definició de la representació analítica.

Reactància acústica inductiva, denotada X_L, i la reactància acústica capacitiva, denotada X_C, són les parts positives i parts negatives de la reactància acústica, respectivament:

${\displaystyle X(s)=X_{L}(s)-X_{C}(s),}$

${\displaystyle X(\omega )=X_{L}(\omega )-X_{C}(\omega ),}$

${\displaystyle X(t)=X_{L}(t)-X_{C}(t).}$

L'admissió acústica, denotada Y, és la transformada de Laplace, o la transformada de Fourier, o la representació analítica del domini temporal de la conductància acústica: ^[1]

${\displaystyle Y(s){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {L}}[G](s)={\frac {1}{Z(s)}}={\frac {{\mathcal {L}}[Q](s)}{{\mathcal {L}}[p](s)}},}$

${\displaystyle Y(\omega ){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {F}}[G](\omega )={\frac {1}{Z(\omega )}}={\frac {{\mathcal {F}}[Q](\omega )}{{\mathcal {F}}[p](\omega )}},}$

${\displaystyle Y(t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}G_{\mathrm {a} }(t)=Z^{-1}(t)={\frac {1}{2}}\!\left[Q_{\mathrm {a} }*\left(p^{-1}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(t),}$

on

• Z ⁻¹ és la convolució inversa de Z;
• p ⁻¹ és la convolució inversa de p.

La conductància acústica, denotada G, i la susceptibilitat acústica, denotada B, són la part real i la part imaginària de l'admissió acústica respectivament:

${\displaystyle Y(s)=G(s)+iB(s),}$

${\displaystyle Y(\omega )=G(\omega )+iB(\omega ),}$

${\displaystyle Y(t)=G(t)+iB(t),}$

on

• a Y(s), G(s) no és la transformada de Laplace del domini temporal de la conductància acústica G(t), la Y(s) l'és;
• a Y(ω), G(ω) no és la transformada de Fourier del domini temporal de la conductància acústica G(t), la Y(ω) l'és;
• a Y(t), G(t) és el domini temporal de la conductància acústica i B(t) és la transformada de Hilbert del domini temporal de la conductància acústica G(t), segons la definició de la representació analítica.

La resistència acústica representa la transferència d'energia d'una ona acústica. La pressió i el moviment estàn en fase, per tant es treballa en el medi que hi ha enfront l'ona; també representa la pressió que està desfasada amb el moviment i que no provoca cap transferència d'energia mitjana. Per exemple, una bombeta tancada connectada a un tub d'orga tindrà una certa pressió, però al estar en contrafase no s'hi transmetrà energia neta. Mentre la pressió augmenta, l'aire es mou endins, i mentre decau, l'aire es mou enfora, però la mitjana de pressió quan l'aire es mou endins és el mateix que quan es mou enfora, per tant la potència fluctua anant i tornant, però sense transferència mitjana temporal d'energia. Una altra analogia elèctrica és un condensador connectat a través d'una línia elèctrica: la corrent flueix a través del condensador però està desfasat amb el voltatge, per tant no s'hi transmet potència neta.

Impedància acústica específica

Per sistemes lineals invariants en el temps, la relació entre la pressió acústica aplicada al sistema i la velocitat resultant de les partícules en la direcció d'aquesta pressió en el seu punt d'aplicació ve donada per:

${\displaystyle p(t)=[r*v](t),}$

o equivalentment:

${\displaystyle v(t)=[g*p](t),}$

on

• p és la pressió acústica;
• v és la velocitat de les partícules;
• r és la resistència acústica específica en el domini temporal;
• g = r ⁻¹ és la conductància acústica específica en el domini temporal (r ⁻¹ és la convolució inversa de r).

La impedància acústica específica, denotada z és la transformada de Laplace, o la transformada de Fourier, o la representació analítica del domini temporal de la resistència acústica específica:

${\displaystyle z(s){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {L}}[r](s)={\frac {{\mathcal {L}}[p](s)}{{\mathcal {L}}[v](s)}},}$

${\displaystyle z(\omega ){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {F}}[r](\omega )={\frac {{\mathcal {F}}[p](\omega )}{{\mathcal {F}}[v](\omega )}},}$

${\displaystyle z(t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}r_{\mathrm {a} }(t)={\frac {1}{2}}\!\left[p_{\mathrm {a} }*\left(v^{-1}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(t),}$

on v^-1 és la convolució inversa de v.

La resistència acústica específica, denotada r, i la reactància acústica específica, denotada x, són la part real i la part imaginària de la impedància acústica específica, respectivament:

${\displaystyle z(s)=r(s)+ix(s),}$

${\displaystyle z(\omega )=r(\omega )+ix(\omega ),}$

${\displaystyle z(t)=r(t)+ix(t),}$

on

• a z(s), r(s) no és la transformada de Laplace del domini temporal de la resistència acústica r(t), la z(s) l'és;
• a z(ω), r(ω) no és la transformada de Fourier del domini temporal de la resistència acústica r(t), la z(ω) l'és;
• a z(t), r(t) és el domini temporal de la resistència acústica i x(t) és la transformada de Hilbert del domini temporal de la resistència acústica r(t), segons la definició de la representació analítica.

La reactància inductiva acústica específica, denotada x_L, i la reactància capacitativa acústica específica, denotada x_C, són la part positiva i la part negativa de la reactància acústica específica, respectivament:

${\displaystyle x(s)=x_{L}(s)-x_{C}(s),}$

${\displaystyle x(\omega )=x_{L}(\omega )-x_{C}(\omega ),}$

${\displaystyle x(t)=x_{L}(t)-x_{C}(t).}$

L'admissió acústica específica, denotada y, és la transformada de Laplace, o la transformada de Fourier, o la representació analítica del domini temporal de la conductància acústica: ^[1]

${\displaystyle y(s){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {L}}[g](s)={\frac {1}{z(s)}}={\frac {{\mathcal {L}}[v](s)}{{\mathcal {L}}[p](s)}},}$

${\displaystyle y(\omega ){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {F}}[g](\omega )={\frac {1}{z(\omega )}}={\frac {{\mathcal {F}}[v](\omega )}{{\mathcal {F}}[p](\omega )}},}$

${\displaystyle y(t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}g_{\mathrm {a} }(t)=z^{-1}(t)={\frac {1}{2}}\!\left[v_{\mathrm {a} }*\left(p^{-1}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(t),}$

on

• z⁻¹ és la convolució inversa de z;
• p ⁻¹ és la convolució inversa de p.

La conductància acústica específica, denotada g, i la susceptibilitat acústica específica, denotada b, són la part real i la part imaginària de l'admissió acústica específica respectivament:

${\displaystyle y(s)=g(s)+ib(s),}$

${\displaystyle y(\omega )=g(\omega )+ib(\omega ),}$

${\displaystyle y(t)=g(t)+ib(t),}$

on

• a y(s), g(s) no és la transformada de Laplace del domini temporal de la conductància acústica g(t), la y(s) l'és;
• a y(ω), g(ω) no és la transformada de Fourier del domini temporal de la conductància acústica g(t), la y(ω) l'és;
• a y(t), g(t) és el domini temporal de la conductància acústica i b(t) és la transformada de Hilbert del domini temporal de la conductància acústica g(t), segons la definició de la representació analítica.

La impedància acústica especifica z és una propietat intensiva d'un medi particular (per exemple la z de l'aire o l'aigua pot ser especificada); per altra banda, la impedància acústica Z és una propietat extensa d'un medi i una geometria particular (per exemple la Z d'un conducte particular omplert d'aire pot ser especificat).

Relació

Per a una ona unidimensional que travessa una obertura amb àrea A, el flux volumètric acústic Q és el volum del medi que passa per segon a través de l'obertura; si el flux acústic es mou a una distància dx = v dt, llavors el volum del medi passant a través és dV = A dx, per tant:

${\displaystyle Q={\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} t}}=A{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=Av.}$

Sempre i quan l'ona sigui només unidimensional:

${\displaystyle Z(s)={\frac {{\mathcal {L}}[p](s)}{{\mathcal {L}}[Q](s)}}={\frac {{\mathcal {L}}[p](s)}{A{\mathcal {L}}[v](s)}}={\frac {z(s)}{A}},}$

${\displaystyle Z(\omega )={\frac {{\mathcal {F}}[p](\omega )}{{\mathcal {F}}[Q](\omega )}}={\frac {{\mathcal {F}}[p](\omega )}{A{\mathcal {F}}[v](\omega )}}={\frac {z(\omega )}{A}},}$

${\displaystyle Z(t)={\frac {1}{2}}\!\left[p_{\mathrm {a} }*\left(Q^{-1}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(t)={\frac {1}{2}}\!\left[p_{\mathrm {a} }*\left({\frac {v^{-1}}{A}}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(t)={\frac {z(t)}{A}}.}$

Característiques de la impedància acústica

La llei constitutiva de l'acústica lineal no dispersiva en una dimensió aporta una relació entre tensió i deformació: ^[1]

${\displaystyle p=-\rho c^{2}{\frac {\partial \delta }{\partial x}},}$

on

• p és la pressió acústica al medi;
• ρ és la densitat volumètrica de la massa del medi;
• c és la velocitat de les ones del so viatjant a través del medi;
• δ és el desplaçament de partícula.
• x és l'espai variable al llarg de la direcció de propagació de les ones sonores.

Aquesta equació és vàlida tan per fluids i sòlids. Per

• fluids, ρc² = K (K correspon als mòduls de compressibilitat);
• solids, ρc² = K + 4/3 G (G correspon als mòduls de cisallament) per a ones longitudinals and ρc² = G for ones transversals.

La segona llei de Newton aplicada localment al medi dona:

${\displaystyle \rho {\frac {\partial ^{2}\delta }{\partial t^{2}}}=-{\frac {\partial p}{\partial x}}.}$

Combinant aquesta equació amb l'anterior produeix l'equació d'ones unidimensionals:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\delta }{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}\delta }{\partial x^{2}}}.}$

Les ones planes

${\displaystyle \delta (\mathbf {r} ,\,t)=\delta (x,\,t)}$

les quals són solucions d'aquesta equació d'ona estàn compostes per la suma de dues ones planes progressives viatjant a través x amb la mateixa velocitat en direccions oposades:

${\displaystyle \delta (\mathbf {r} ,\,t)=f(x-ct)+g(x+ct)}$

de cada una se'n pot derivar

${\displaystyle v(\mathbf {r} ,\,t)={\frac {\partial \delta }{\partial t}}(\mathbf {r} ,\,t)=-c{\big [}f'(x-ct)-g'(x+ct){\big ]},}$

${\displaystyle p(\mathbf {r} ,\,t)=-\rho c^{2}{\frac {\partial \delta }{\partial x}}(\mathbf {r} ,\,t)=-\rho c^{2}{\big [}f'(x-ct)+g'(x+ct){\big ]}.}$

Per ones planes progressives:

${\displaystyle {\begin{cases}p(\mathbf {r} ,\,t)=-\rho c^{2}\,f'(x-ct)\\v(\mathbf {r} ,\,t)=-c\,f'(x-ct)\end{cases}}}$

o

${\displaystyle {\begin{cases}p(\mathbf {r} ,\,t)=-\rho c^{2}\,g'(x+ct)\\v(\mathbf {r} ,\,t)=c\,g'(x+ct).\end{cases}}}$

Finalment, la impedància acústica específica z és

${\displaystyle z(\mathbf {r} ,\,s)={\frac {{\mathcal {L}}[p](\mathbf {r} ,\,s)}{{\mathcal {L}}[v](\mathbf {r} ,\,s)}}=\pm \rho c,}$

${\displaystyle z(\mathbf {r} ,\,\omega )={\frac {{\mathcal {F}}[p](\mathbf {r} ,\,\omega )}{{\mathcal {F}}[v](\mathbf {r} ,\,\omega )}}=\pm \rho c,}$

${\displaystyle z(\mathbf {r} ,\,t)={\frac {1}{2}}\!\left[p_{\mathrm {a} }*\left(v^{-1}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(\mathbf {r} ,\,t)=\pm \rho c.}$

El valor absolut d'aquesta impedància acústica és anomenada usualment, impedància acústica específica característica i denotada z₀:

${\displaystyle z_{0}=\rho c.}$

Les equacions també mostren que

${\displaystyle {\frac {p(\mathbf {r} ,\,t)}{v(\mathbf {r} ,\,t)}}=\pm \rho c=\pm z_{0}.}$

Efecte de la temperatura

La temperatura afecta a la velocitat del so i a la densitat de la massa i aquestes, a la impedància acústica específica.

Efecte de la temperatura en les propietats de l'aire

Temperatura, T (°C)	Velocitat del so, c (m/s)	Densitat de l'aire, ρ (kg/m3)	Característiques impedància acústica específica, z0 (Pa·s/m)
35	351.88	1.1455	403.2
30	349.02	1.1644	406.5
25	346.13	1.1839	409.4
20	343.21	1.2041	413.3
15	340.27	1.2250	416.9
10	337.31	1.2466	420.5
5	334.32	1.2690	424.3
0	331.30	1.2922	428.0
-5	328.25	1.3163	432.1
-10	325.18	1.3413	436.1
-15	322.07	1.3673	440.3
-20	318.94	1.3943	444.6
-25	315.77	1.4224	449.1

Impedància acústica característica

Per a ones unidimensionals passant a través d'un obertura amb àrea A, Z = z/A, per tant si l'ona és plana progressiva:

${\displaystyle Z(\mathbf {r} ,\,s)=\pm {\frac {\rho c}{A}},}$

${\displaystyle Z(\mathbf {r} ,\,\omega )=\pm {\frac {\rho c}{A}},}$

${\displaystyle Z(\mathbf {r} ,\,t)=\pm {\frac {\rho c}{A}}.}$

El valor absolut d'aquesta impedància acústica és usualment anomenada impedància acústica característica, i és denotada Z₀:

${\displaystyle Z_{0}={\frac {\rho c}{A}}.}$

i la impedància acústica específica característica és

${\displaystyle {\frac {p(\mathbf {r} ,\,t)}{Q(\mathbf {r} ,\,t)}}=\pm {\frac {\rho c}{A}}=\pm Z_{0}.}$

Si l'obertura amb l'àrea A és l'inici d'un tub i una ona plana és enviada dins d'aquest tub, l'ona passant a través de l'obertura és una ona plana progressiva en absència de reflexos, i els reflexos generalment de l'altre extrem, sigui obert o tancat, són la suma de les ones viatjant d'un extrem a l'altre. (És possible no tenir reflexos quan el tub és molt llarg, perquè s'atenuen amb les parets del tub perquè tarden molt en arribar d'una punta a l'altre). Aquests reflexos i les ones estacionàries resultants són molt importants en el disseny i la utilització d'instruments musicals de vent.

Vegeu també

• Atenuació acústica
• Analogia d'impedància
• Ohm acústic
• Bomba sísmica

Referències

1. Fundamentals of acoustics. 4th ed, 1999. ISBN 0-471-84789-5.

Enllaços externs

• What Is Acoustic Impedance and Why Is It Important?
• The Wave Equation for Sound