Forma de Chern–Simons
From Wikipedia, the free encyclopedia
En matemàtiques, les formes diferencials de Chern–Simons són un tipus de classes característiques secundàries. Tenen aplicacions importants en teories de gauge en física moderna (especialment la 3-forma sobre una 3-varietat, que està relacionada amb el funcional de Yang-Mills per a 4-varietats) i defineixen l'acció de la teoria de Chern–Simons. La forma rep el nom dels matemàtics Shiing-Shen Chern i James Harris Simons, coautors d'un article del 1974 intitulat "Formes Característiques i Invariants Geomètriques",[1] a partir del qual la teoria va sorgir.
Donada una varietat i una 1-forma de l'àlgebra de Lie, per sobre de la primera, podem definir una família de formes diferencials com segueix.[2]
En una dimensió, l'1-forma de Chern–Simons ve donada per
![{\displaystyle \operatorname {Tr} [\mathbf {A} ].}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/092c8e445b62d5b43e5f856352a1b4d4d00d6550)
En tres dimensions, la 3-forma de Chern–Simons ve donada per
![{\displaystyle \operatorname {Tr} \left[\mathbf {F} \wedge \mathbf {A} -{\frac {1}{3}}\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \right]=\operatorname {Tr} \left[d\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} +{\frac {2}{3}}\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \right].}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cea87fcbf697dafba00a19e0d9eeddbc49940cf)
En cinc dimensions, la 5-forma de Chern–Simons és
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {Tr} \left[\mathbf {F} \wedge \mathbf {F} \wedge \mathbf {A} -{\frac {1}{2}}\mathbf {F} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} +{\frac {1}{10}}\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \right]\\[6pt]={}&\operatorname {Tr} \left[d\mathbf {A} \wedge d\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} +{\frac {3}{2}}d\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} +{\frac {3}{5}}\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \right]\end{aligned}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8710899b798ec98637895e5c5a11df81674e471)
on la curvatura F és definida com a
La forma de Chern–Simons general és definida de manera que
on el producte exterior és emprat per a definir Fk. La part dreta d'aquesta equació és proporcional al caràcter de Chern d'ordre k de la connexió .
En general, la p-forma de Chern–Simons és definida per a qualsevol valor de p senar. La seva integral sobre una varietat p-dimensional és una invariant geomètrica global, i és típicament un invariant de gauge modulo l'addició d'un enter.
Wikiwand in your browser!
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.
