Extensió de cossos

En àlgebra, les extensions de cos són el problema fonamental de la teoria de cossos. Un cos és un conjunt en el qual les operacions suma i producte estan definides i "funcionen bé". Un dels motius de construir una extensió d'un cos és el de cercar un conjunt més gran en el qual les operacions suma i producte seguisquen funcionant bé i a més es puguen resoldre equacions polinòmiques que no es poden resoldre en el cos original.^[1]

Aquest article o secció no cita les fonts o necessita més referències per a la seva verificabilitat.

Definició

Siga (K, +, ·) un cos. Un cos L és una extensió de K si K és un subcos de L, és a dir si (L,+,·) és un cos i (K,+,·) és un cos amb la restricció a K de les operacions + i · en L. Si L és extensió sobre K es denota L:K o L/K.^[2][3]

Extensió sobre un cos com espai vectorial sobre el cos

• Si L és una extensió de K, llavors L és un espai vectorial sobre K.

En efecte, l'addició de K serveix també d'addició en l'espai vectorial, i la multiplicació d'un element de K per un de L defineix el producte escalar de l'espai vectorial:

Per definició de cos, ${\displaystyle (L,+)}$ és grup abelià, i podem considerar el producte per escalars ${\displaystyle \cdot :K\times L\longrightarrow L}$ com una restricció a ${\displaystyle K\times L}$ del producte en ${\displaystyle \cdot :L\times L\longrightarrow L}$. D'esta manera és immediat que es compleix que:^[4]

• ${\displaystyle a\cdot (\alpha +\beta )=(a\cdot \alpha )+(a\cdot \beta )}$,

• ${\displaystyle (a+b)\cdot \alpha =(a\cdot \alpha )+(b\cdot \alpha )}$,

• ${\displaystyle (a\cdot (b\cdot \alpha ))=(a\cdot b)\cdot \alpha }$,

• ${\displaystyle 1\cdot \alpha =\alpha }$,

qualssevol que siguen ${\displaystyle a,b\in K}$ i ${\displaystyle \alpha ,\beta \in L}$. Les dues primeres propietats són degudes a la distributivitat del producte respecte de la suma en ${\displaystyle L}$ i al fet que ${\displaystyle K\subset L}$; la tercera es deu al fet que el producte és associatiu en ${\displaystyle L}$, i la quarta es deu al fet que ${\displaystyle K}$ és subcòs de ${\displaystyle L}$, per la qual cosa l'element unitat de ${\displaystyle L}$ és l'element unitat de ${\displaystyle K}$.

Extensió simple

El conjunt ${\displaystyle K(\alpha ):=\left\{{\frac {f(\alpha )}{g(\alpha )}}:f,g\in K[x]\right\}}$. Este conjunt és un cos, és extensió de ${\displaystyle K}$, és subcòs de ${\displaystyle L}$, i de fet és la menor extensió de ${\displaystyle K}$ que conté a ${\displaystyle \alpha }$. Se li denomina extensió generada per α sobre ${\displaystyle K}$.^[5]

Extensions algebraiques i transcendents

Teorema de Kronecker

Article principal: Teorema de Kronecker

Siga ${\displaystyle K}$ un cos i ${\displaystyle p\in K[x]}$ un polinomi irreductible, llavors existeix alguna extensió ${\displaystyle L:K}$ de manera que ${\displaystyle p}$ té alguna arrel en ${\displaystyle L}$.^[6]

Homomorfisme avaluació

L'aplicació ${\displaystyle \beta :K[x]\longrightarrow K(\alpha )}$ que a cada polinomi ${\displaystyle p(x)\in K[x]}$ li fa correspondre la seua avaluació en ${\displaystyle \alpha }$, i.e., ${\displaystyle \beta (p)=p(\alpha )}$. Esta aplicació és de fet un isomorfisme d'anells commutatius i unitaris, i se denomina homomorfisme avaluació.

Extensió algebraica

Article principal: Extensió algebraica

Una extensió ${\displaystyle L:K}$ se diu que és algebraica si tot element ${\displaystyle \alpha \in L}$ és algebraic sobre ${\displaystyle K}$.^[7]

Elements algebraics

Article principal: Element algebraic

Suposem que existeix algun polinomi ${\displaystyle p\in K[x]}$ que té a ${\displaystyle \alpha }$ per arrel.

En esta situació (${\displaystyle \operatorname {Ker} (\beta )\neq \{0\}}$, o equivalentment, existeix algun ${\displaystyle p\in K[x]}$ irreductible con ${\displaystyle {\frac {K[x]}{(p)}}\cong K(\alpha )}$) se diu que ${\displaystyle \alpha }$ és algebraic sobre ${\displaystyle K}$.

Un element és llavors algebraic sobre un cos si i només si és arrel d'algun polinomi a coeficients en aquest cos.

Polinomi mònic irreductible

Si ${\displaystyle \alpha }$ és un element algebraic sobre el cos ${\displaystyle K}$ de manera que ${\displaystyle \alpha \notin K}$, el polinomi ${\displaystyle p}$ que genera al nucli de l'aplicació avaluació (i.e., ${\displaystyle \operatorname {Ker} \beta =(p)}$) és irreductible. Dividint ${\displaystyle p}$ pel seu coeficient principal (aquell escalar que multiplica a la potència més gran de la variable ${\displaystyle x}$) s'obté un polinomi mònic (és a dir, de manera que el seu coeficient principal es la unitat), que se denota per ${\displaystyle m_{\alpha }^{K}}$ i se denomina polinomi mònic irreductible de ${\displaystyle \alpha }$ respecte de ${\displaystyle K}$.

Clarament, ${\displaystyle K(\alpha )\cong {\frac {K[x]}{(m_{\alpha }^{K})}}}$.

Extensió transcendent

Una extensió ${\displaystyle L:K}$ se diu que és transcendent si existeix algun element ${\displaystyle \alpha \in L}$ que siga transcendent sobre ${\displaystyle K}$.

Elements transcendents

Si el Ker${\displaystyle (\beta )=\{0\}}$, serà ${\displaystyle \beta }$ un monomorfisme. En eixe cas, ${\displaystyle K(x)}$ és isomorf a ${\displaystyle K(\alpha )}$.

Se dirà que l'element ${\displaystyle \alpha }$ és transcendent sobre ${\displaystyle K}$ i que ${\displaystyle K(\alpha )}$ és una extensió transcendent sobre ${\displaystyle K}$. A més, no existirà cap polinomi amb coeficients en ${\displaystyle K}$ que tinga per arrel a ${\displaystyle \alpha }$ (és a dir, si ${\displaystyle p\in K[x]}$, llavors ${\displaystyle p(\alpha )\neq 0}$).

Grau d'una extensió

Com que tot espai vectorial té base, podem calcular la dimensió de ${\displaystyle L}$ com espai vectorial sobre ${\displaystyle K}$, denotat per ${\displaystyle \operatorname {dim} _{K}(L)}$. Es denomina grau de l'extensió ${\displaystyle L:K}$ a la dimensió de ${\displaystyle L}$ com ${\displaystyle K}$-espai vectorial: ${\displaystyle [L:K]=\operatorname {dim} _{K}(L)}$.

Prenguem diversos exemples:

K = Q, el cos dels racionals, i L = R, el dels reals. Les arrels dels enters primers (√2, √3, √5, √7…) són linealment independents sobre Q, el que implica que R vist com a espai vectorial sobre Q, és de dimensió infinita. Altra manera d'obtenir este resultat és considerar els nombres e, e²,e³... on el nombre e és la base dels logaritmes neperians. Com que e és transcendent, no existeix cap polinomi no nul P tal que P(e) = 0, cosa que significa que 1, e, e², e³ ... són linealment independents. D'ací la dimensió infinita.

El resultat no sorprèn si es considera els cardinals d'ambdós conjunts: si la dimensió de R sobre Q fóra finita, R seria isomorf a Qⁿ, el que no és possible perquè el cardinal de Qⁿ és el mateix que el de Q (igual al de N, aleph₀) que és estrictament inferior al de R.

K = Q, el cos dels racionals, i L = Q(√2), el menor cos que conté al mateix temps Q i √2. L és també el conjunt dels P(√2), on P és qualsevol polinomi amb coeficients en Q. Reagrupant els monomis de potències parells per una part, i imparells per l'altra, de P(√2), se veu que els elements de Q(√2) són els nombres de la forma a+b√2, amb a i b racionals. Per tant, (1, √2) és una base de L vist com a espai vectorial sobre K, el que significa que la seua dimensió és 2. S'ha de relacionar esta dimensió al fet que √2 és arrel d'un polinomi de segon grau.

Se pot generalitzar: Si α és una arrel d'un polinomi irreductible (sobre Q) de grau n, aleshores Q(α) és una extensió de dimensió n sobre Q.

Referències

1. Howson, A.G.. A handbook of terms used in algebra and analysis. Cambridge University Press, 1972, p. 72-73. ISBN 0-521-09695-2.
2. Moy, Samuel «An Introduction To The Theory Of Field Extensions» (PDF) (en anglès). Mathematics, 2009, pàg. 4 (Def. 3.4) [Consulta: 28 gener 2024].
3. Chibeti, 2023, p. 107, Definició 2.1.
4. Chibeti, 2023, p. 104-105, Definició 1.1 i Observació 1.2.
5. Stewart, I.N.. Galois theory. Chapman and Hall, 1973, p. 33-48. ISBN 0-412-10800-3.
6. Goldmakher, Leo. «Kronecker's Theorem» (PDF). Galois Theory : Lecture 7. Williams, 22-02-2018. [Consulta: 28 gener 2024].
7. McCarthy, P.J.. Dover Publications. Algebraic extensions of fields, 1991, p. 1-4. ISBN 0-486-66651-4.

Bibliografia

• Chibeti, S.; Kyapwanyama, I.; Phiri, H.M.; Kalunga, J. «An Introduction to the Theory of Field Extensions» (PDF) (en anglès). Advances in Pure Mathematics, 13, 2023, pàg. 103-132. Arxivat de l'original el 15 de març 2023. DOI: 10.4236/apm.2023.132006 [Consulta: 28 gener 2024].