Espai euclidià

Un espai euclidià és un espai vectorial normat de dimensió finita, en què la norma és heretada d'un producte escalar.^[1]

Primera aproximació

L'espai euclidià treu el seu nom del matemàtic grec Euclides.^[2] Històricament, l'espai euclidià consta només de l'espai físic de 2 o 3 dimensions: el pla o l'espai, en el qual estan definits el punts. Aquests espais euclidians naturals són els universos en què van ser demostrats tots els grans teoremes de la geometria plana o de l'espai. Són els objectes d'estudi de tots els geòmetres des d'abans d'Euclides fins al segle xix.

En el segle xix, aquesta visió de l'espai comença a mostrar els seus límits. És en aquest moment quan es va veure la necessitat de donar-li unes definicions més formals i més generals.

Definicions matemàtiques

Espai vectorial euclidià

Un espai vectorial euclidià és un espai vectorial sobre ${\displaystyle \mathbb {R} }$, de dimensió finita n i dotat d'un producte escalar.

En qualsevol espai vectorial, sempre s'hi pot trobar una base ortonormal. En una tal base, es defineix el producte escalar canònic per:

${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =\langle (u_{1},u_{2},...,u_{n}),(v_{1},v_{2},...,u_{n})\rangle =u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+...+u_{n}v_{n}}$.

Quan es té definit un producte escalar, és possible definir una norma, que s'anomena norma euclidiana:

${\displaystyle \lVert \mathbf {u} \rVert ={\sqrt {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle }}}$,

i que també permet introduir la noció d'angle: l'angle geomètric entre dos vectors u, v no nuls, és un valor real ${\displaystyle \theta }$ comprès entre 0 i π, tal que:

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }{\lVert \mathbf {u} \rVert \cdot \lVert \mathbf {v} \rVert }}}$

Espai afí euclidià

Un espai afí euclidià és l'espai afí associat a un espai vectorial euclidià.

S'hi pot definir una distància, nocions de l'angle geomètric, s'hi retroba el teorema de Pitàgores i la propietat de la suma dels angles de qualsevol triangle.

Exemples d'espai vectorial euclidià

• L'espai ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, amb el producte escalar euclidià:

${\displaystyle \langle (x_{1},x_{2},...,x_{n}),(y_{1},y_{2},...,y_{n})\rangle =x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+...+x_{n}y_{n},}$

és un espai vectorial euclidià de dimensió n.

• L'espai vectorial dels polinomis de grau igual o inferior a n:
  • amb el producte escalar euclidià:

${\displaystyle \left\langle \sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i},\sum _{i=o}^{n}b_{i}Y^{i}\right\rangle =\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{i}}$

és un espai euclidià de dimensió ${\displaystyle n+1}$.

• • amb el producte escalar:

${\displaystyle \langle P,Q\rangle =\int _{0}^{1}P(t)Q(t)dt}$

és també un espai euclidià amb una norma diferent.

Propietats dels espais euclidians

• En tot espai euclidià, es pot definir una base ortonormal. Més concretament, si ${\displaystyle (u_{1},u_{2},...,u_{n})\,}$ és una base de ${\displaystyle \mathbf {E} }$, existeix una base ${\displaystyle (v_{1},v_{2},...,v_{n})\,}$ ortonormal, tal que per a tot ${\displaystyle k}$ entre 1 i n, es compleix que:

${\displaystyle \langle u_{1},u_{2},...,u_{k}\rangle =\langle v_{1},v_{2},...,v_{k}\rangle \,}$,

en què s'entén per ${\displaystyle \langle u_{1},u_{2},...,u_{k}\rangle \,}$ la varietat lineal engendrada per aquells ${\displaystyle k}$ elements de la base.

• Tot espai vectorial euclidià de dimensió ${\displaystyle n}$ és isomorf a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

• Tot espai vectorial euclidià és complet. És, per tant, un cas particular d'espai de Banach.

• Dos vectors amb producte escalar nul es diuen ortogonals. En tot subespai vectorial ${\displaystyle \mathbf {F} }$ d'un espai euclidià ${\displaystyle \mathbf {E} }$ es pot associar un únic subespai ${\displaystyle \mathbf {F} ^{\bot }}$ format per tots els vectors ortogonals a tots els vectors de ${\displaystyle \mathbf {F} }$, que és el seu ortogonal.

• Si ${\displaystyle x\,}$ és un vector de ${\displaystyle \mathbf {E} }$, l'aplicació producte escalar per ${\displaystyle x\,}$,${\displaystyle s_{x}:y\mapsto <x,y>}$ és una forma lineal. L'aplicació que associa ${\displaystyle x\,}$ a ${\displaystyle s_{x}\,}$ és un isomorfisme de l'espai vectorial ${\displaystyle \mathbf {E} }$ en el seu dual ${\displaystyle \mathbf {E} ^{*}}$.

• Si ${\displaystyle f\,}$ és un endomorfisme de ${\displaystyle \mathbf {E} }$, existeix un únic endomorfisme, que s'escriurà per ${\displaystyle f^{*}\,}$ i anomenat adjunt de ${\displaystyle f\,}$, tal que:

${\displaystyle \forall x,y\in \mathbf {E} ,<f(x),y>=<x,f^{*}(y)>}$

Es defineix les nocions d'endomorfisme simètric si ${\displaystyle f=f^{*}\,}$, i endomorfisme antisimètric si ${\displaystyle f=-f^{*}\,}$.

En una base ortonormal, la matriu de ${\displaystyle f^{*}\,}$ és la transposada de ${\displaystyle u\,}$.