Constant de Legendre

La constant de Legendre és una constant matemàtica que apareix en una conjectura d'Adrien-Marie Legendre que mostra el comportament asimptòtic de la funció de recompte de primers ${\displaystyle \pi (x)}$. Se sap actualment que el seu valor és 1.

Els primers 100,000 elements de la seqüència a_n = ln(n) − n/π(n) (línia vermella) semblen convergir a un valor d'aproximadament 1.08366 (la línia blava).

Una anàlisi de les demostracions numèriques disponibles llavors sobre els nombres primers van fer sospitar a Legendre que ${\displaystyle \pi (x)}$ satisfeia una fórmula aproximada.

Legendre va conjecturar l'any 1808 que:

${\displaystyle \pi (x)={\frac {x}{\ln(x)-B(x)}}}$

on ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }B(x)=1.08366}$.... és la seqüència A228211 de l'OEIS.^[1]

O, cosa que és el mateix:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(\ln(n)-{n \over \pi (n)}\right)=B}$

on B és la constant de Legendre. Va donar un valor a B de 1.08366, però més enllà del seu valor exacte, l'existència de B implica el teorema dels nombres primers.

Pafnuti Txebixov va demostrar l'any 1849^[2] que si el límit B existeix, llavors ha de ser igual a 1. Una demostració més senzilla va ser desenvolupada per Pintz l'any 1980.^[3]

És una conseqüència immediata del teorema dels nombres primers, en una forma determinada i una estimació explícita del terme de l'error:

${\displaystyle \pi (x)={\rm {Li}}(x)+O\left(xe^{-a{\sqrt {\ln x}}}\right)\quad {\text{a mesura que }}x\to \infty }$

(per una certa constant positiva a, on O(…) és la notació de Landau), com va demostrar Charles de La Vallée Poussin l'any 1899,^[4] que B en efecte és igual a 1. (El teorema dels nombres primers havia estat demostrat l'any 1896, independentment per Jacques Hadamard^[5] i La Vallée Poussin,^[6] però sense cap estimació del valor del terme error.

Tenint com a valor un nombre tan simple com la unitat, la constant de Legendre ha acabat tenint únicament valor històric, i algun cop (de forma tècnicament incorrecta) s'ha arribat a utilitzar per denotar el primer valor que li va donar Legendre 1.08366... enlloc de 1.

Pierre Dusart va demostrar, l'any 2010 que:

${\displaystyle {\frac {x}{\ln x-1}}<\pi (x)}$ per ${\displaystyle x\geq 5393}$, i

${\displaystyle \pi (x)<{\frac {x}{\ln x-1.1}}}$ per ${\displaystyle x\geq 60184}$.^[7] Això té la mateixa forma que:

${\displaystyle \pi (x)={\frac {x}{\ln(x)-B(x)}}}$ amb ${\displaystyle 1<B(x)<1.1}$.

Referències

1. Ribenboim, Paulo. The Little Book of Bigger Primes. Nova York: Springer-Verlag, 2004, p. 188. ISBN 0-387-20169-6.
2. Edmund Landau. Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, page 17. Third (corrected) edition, two volumes in one, 1974, Chelsea 1974
3. J. Pintz. On Legendre's prime number formula. Amer. Math. Monthly 87 (1980), 733-735.
4. La Vallée Poussin, C. Mém. Couronnés Acad. Roy. Belgique 59, 1-74, 1899
5. Sur la distribution des zéros de la fonction ${\displaystyle \zeta (s)}$ et ses conséquences arithmétiques, Bulletin de la Société Mathématique de France, Vol. 24, 1896, pp. 199–220 Online Arxivat 2012-07-17 a Wayback Machine.
6. « Recherches analytiques sur la théorie des nombres premiers », Annales de la société scientifique de Bruxelles, vol. 20, 1896, p. 183-256 et 281-361
7. Dusart, Pierre (2010), "Estimates of Some Functions over Primes without R.H", arΧiv:1002.0442 [math.NT]