Autocorrelació

L'autocorrelació és una eina matemàtica utilitzada sovint al processament de senyals. La funció d'autocorrelació es defineix com la correlació creuada del senyal amb ell mateix. La funció d'autocorrelació és de gran utilitat per trobar patrons repetitius dins d'un senyal, com per exemple, la periodicitat d'un senyal emmascarat sota el soroll o per a identificar la freqüència fonamental d'un senyal que no la conté, però apareixen nombroses freqüències harmòniques d'aquesta.

AA dalt: un gràfic d'una sèrie de 100 números aleatoris que oculten la funció sinus. A sota: La funció sinus revelada en un correlograma produït per autocorrelació.

Comparació visual de convolució, correlació creuada i autocorrelació.

Depenent del camp d'estudi es poden definir diferents tipus d'autocorrelació sense que aquestes definicions siguin equivalents. En alguns camps s'utilitzen indistintament les funcions d'autocorrelació i d'autocovariància, ja que totes dues només difereixen entre si en una constant de proporcionalitat que és la variància (en aquest cas, l'autocovariància d'ordre k = 0).

Definicions de la funció d'autocorrelació

Depenent del camp d'estudi es poden definir diferents tipus d'autocorrelació sense que aquestes definicions siguin equivalents. En alguns camps s'utilitzen indistintament les funcions d'autocorrelació i de autocovariàncies, atès que ambdues només difereixen entre si en una constant de proporcionalitat que és la variància (en aquest cas, la autocovariància d'ordre k>0).

Estadística

En estadística, l'autocorrelació d'una sèrie temporal discreta d'un procés X _t és simplement la correlació d'aquest procés amb una versió desplaçada en el temps de la mateixa sèrie temporal.

Si X_t representa un procés estacionari de segon ordre amb un valor principal de μ es defineix llavors:

${\displaystyle R(k)={\frac {E[(X_{i}-\mu )(X_{i-k}-\mu )]}{\sigma ^{2}}}}$

on E és el valor esperat i k el desplaçament temporal considerat (normalment anomenat desfasament ). Aquesta funció varia dins del rang [-1, 1], on 1 indica una correlació perfecta (el senyal se superposa perfectament després d'un desplaçament temporal de k ) i -1 indica una anticorrelació perfecta. És una pràctica comuna en moltes disciplines el fet d'abandonar la normalització per σ² i utilitzar els termes autocorrelació i autocovariància de manera intercanviable.

Processament de senyals

En processament de senyals, donat un senyal temporal ${\displaystyle f(t)}$, l'autocorrelació contínua ${\displaystyle R_{f}(\tau )}$ és la correlació contínua creuada de ${\displaystyle f(t)}$ amb si mateix després d'un desfasament ${\displaystyle \tau }$, i es defineix com:

${\displaystyle R_{f}(\tau )=f^{*}(-\tau )\circ f(\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }f(t+\tau )f^{*}(t)\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)f^{*}(t-\tau )\,dt}$

on ${\displaystyle f^{*}}$ representa el conjugat complex i el cercle representa una convolució. Per a una funció real, ${\displaystyle f^{*}=f}$.

Formalment, l'autocorrelació discreta ${\displaystyle R}$ amb un desfasament ${\displaystyle j}$ per un senyal ${\displaystyle x_{n}}$ és

${\displaystyle R(j)=\sum _{n}(x_{n}-m)(x_{n-j}-m)\,}$

on m és el valor esperat de ${\displaystyle x_{n}}$.

Sovint les autocorrelacions es calculen per a senyals centrats al voltant del zero, és a dir amb un valor principal de zero. En aquest cas la definició de l'autocorrelació ve donada per:

${\displaystyle R(j)=\sum _{n}x_{n}x_{n-j}.\,}$

Les autocorrelacions multidimensionals poden definir de manera similar. Per exemple, en tres dimensions es pot definir l'autocorrelació d'una funció com:

${\displaystyle R(j,k,\ell )=\sum _{n,q,r}(x_{n,q,r}-m)(x_{n-j,q-k,r-\ell }-m).}$

Propietats

Definirem les propietats de l'autocorrelació unidimensional. La majoria de les seves propietats són extensibles fàcilment als casos multidimensionals.^[1]

• Simetria : R ( i ) = R (- i ),
• La funció d'autocorrelació arriba a un valor màxim en l'origen, on arriba a un valor real. El mateix resultat es pot trobar en el cas discret.
• Com que l'autocorrelació és un tipus específic de correlació manté totes les propietats de la correlació.
• L'autocorrelació d'un senyal de soroll blanc tindrà un fort pic a τ = 0 i valors propers a zero i sense cap estructura per a qualsevol altre τ. Això mostra que el soroll blanc no té periodicitat.
• Segons el teorema de Wiener-Khinchin, la funció d'autocorrelació és la transformada inversa de Fourier de la densitat espectral:^[2]

${\displaystyle R(\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }S(f)e^{j2\pi f\tau }\,df}$

Igualment, l'espectre es relaciona amb la funció d'autocorrelació:

${\displaystyle S(f)=\int _{-\infty }^{\infty }R(\tau )e^{-j2\pi f\tau }\,d\tau .}$

La conseqüència és que el senyal pot expressar indistintament en el domini de temps (t) o en el domini de freqüència (f), en existir aquesta correspondència entre tots dos, i entenent que el senyal està completament determinat a partir del total dels seus moments o del total de les seves freqüències.^[3]

Aplicacions

• Una de les aplicacions de l'autocorrelació és la mesura d'espectres òptics i especialment la mesura d'impulsos molt curts de llum.

• En òptica, l'autocorrelació normalitzada i la correlació creuada proporcionen el grau de coherència d'un camp electromagnètic.

• En el processament del senyal, l'autocorrelació proporciona informació sobre les periodicitats del senyal i les seves freqüències característiques com els harmònics d'una nota musical produïda per un instrument determinat (to i timbre).

Vegeu també

• Motor de correlació

Referències

1. Zadeh, L. A. «Theory of Filtering». Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics, 1, 1953, p. 35–51.
2. Broughton, S.A.; Bryan, K. Discrete Fourier Analysis and Wavelets: Applications to Signal and Image Processing. Nova York: Wiley, 2008, p. 72.
3. Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (T), Jeff Miller, March 25, 2009

Bibliografia

• G.M. TSEITLIN, M.I. SOLTS, V.M. POPOV. Aerodinámica y Dinámica del vuelo de las aeronaves.
• BARLOW B. J.; RAE W. H.; POPE A. (1999). Low Speed Wind Tunnel Testing.
• HINZE J.O. Turbulence.
• BLESSMANN J., O Vento na Engenharia Estrutural, Editora da Universidades, UFGRS, Porto Alegre, Brasil, 1995.
• BENDAT J.S., PIERSOL A.G. Random Data-Analysis and Measurements Procedures, Wiley, New York, 1986.
• COOK N. J., Determination of the Model Scale Factor in Wind-Tunnel Simulations of the Adiabatic Atmospheric.
• ADRIÁN R. WITTWER, MARIO E. DE BORTOLI, M. B. NATALINI. Variación de los parámetros característicos de una simulación de la capa límite atmosférica en un túnel de viento.
• DELNERO, J. S*.; MARAÑON DI LEO, J.; BACCHI, F. A.; COLMAN, J. & COLOSQUI, C. E. Determinación experimental en túnel de capa límite de los coeficientes aerodinámicos de perfiles de bajos Reynolds.
• J. COLMAN, J. MARAÑÓN DI LEO, J. S. DELNERO, M. MARTÍNEZ, U. BOLDES, F. BACCHI. Lift and drag coefficients behavior at low Reynolds number in an airfoil with miniflap Gurney submitted to a turbulent flow.
• J.S. DELNERO, J. COLMAN, U. BOLDES, M. MARTINEZ, J. MARAÑÓN DI LEO and F.A. BACCHI. About the turbulent scale dependent response of reflexed airfoils.

Enllaços externs

• Weisstein, Eric W. Weisstein, Eric W., «Autocorrelation» a MathWorld (en anglès).
• Autocorrelation articles in Comp.DSP (DSP usenet group). (en anglès)