Tor sòlid

En topologia, un tor sòlid és l'espai topològic format en escombrar un disc al voltant d'un cercle.^[1] És homeomòrfic al producte cartesià ${\displaystyle S^{1}\times D^{2}}$ del disc i el cercle, segons la topologia producte.^[2] Una manera estàndard de visualitzar un tor sòlid és com a tor encaixat dins l'espai tridimensional. Tanmateix, s'ha de distingir d'un tor, que té el mateix aspecte visual: el tor és l'espai bidimensional que fa de frontera d'una tor, mentre el tor sòlid inclou també l'espai interior compacte tancat pel tor.

Tor sòlid

Propietats topològiques

El tor sòlid és una varietat connexa, compacta, orientable 3-dimensional amb frontera. La frontera és homeomorfa a${\displaystyle S^{1}\times S^{1}}$, el tor ordinari.

Com que el disc ${\displaystyle D^{2}}$ és contractible, el tor sòlid té el tipus d'homotopia d'un cercle ${\displaystyle S^{1}}$.^[3] Per tant el grup fonamental i els grups d'homologia són isomorfs als del cercle:

${\displaystyle \pi _{1}(S^{1}\times D^{2})\cong \pi _{1}(S^{1})\cong \mathbb {Z} ,}$

${\displaystyle H_{k}(S^{1}\times D^{2})\cong H_{k}(S^{1})\cong {\begin{cases}\mathbb {Z} &{\text{si }}k=0,1,\\0&{\text{altrament}}.\end{cases}}}$

Referències

1. Falconer, Kenneth. Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications. 2a edició. John Wiley & Sons, 2004, p. 198. ISBN 9780470871355.
2. Matsumoto, Yukio. An Introduction to Morse Theory. American Mathematical Society, 2002, p. 188. ISBN 9780821810224.
3. Ravenel, Douglas C. Nilpotence and Periodicity in Stable Homotopy Theory. 128. Princeton University Press, 1992, p. 2. ISBN 9780691025728.