Notació de Coxeter

En geometria, la notació de Coxeter (o símbol de Coxeter) és un sistema de classificació de grups de simetria, que descriu els angles entre les reflexions fonamentals d'un grup de Coxeter en una notació entre claudàtors que expressa l'estructura d'un diagrama de Coxeter-Dynkin, amb modificadors per indicar determinats subgrups. La notació rep el nom de H. S. M. Coxeter, i ha estat definida de forma més comprensible per Norman Johnson.

Dominis fonamentals de grups de punts 3D reflexius

, [ ]=[1] C1v	, [2] C2v	, [3] C3v	, [4] C4v	, [5] C5v	, [6] C6v
Ordre 2	Ordre 4	Ordre 6	Ordre 8	Ordre 10	Ordre 12
[2]=[2,1] D1h	[2,2] D2h	[2,3] D3h	[2,4] D4h	[2,5] D5h	[2,6] D6h
Ordre 4	Ordre 8	Ordre 12	Ordre 16	Ordre 20	Ordre 24
, [3,3], Td		, [4,3], Oh		, [5,3], Ih
Ordre 24		Ordre 48		Ordre 120
La notació de coxeter expressa els grups de Coxeter com una llista d'ordres de branques d'un diagrama de Coxeter, com els grups polièdrics, = [p,q]. Els grups dièdrics, , poden expressar-se un producte [ ]×[n] o en un sol símbol amb un explícit ordre 2 de branques, [2,n]

Grups reflexius

Vegeu també: Grup puntual de simetria

Per als grups de Coxeter, definits per reflexions pures, hi ha una correspondència directa entre la notació entre claudàtors i el diagrama de Coxeter-Dynkin. Els nombres de l'anotació entre claudàtors representen els ordres de reflexió dels miralls a les branques del diagrama de Coxeter. Utilitza la mateixa simplificació, suprimint els «2» entre miralls ortogonals.

La notació de Coxeter se simplifica amb exponents per representar el nombre de branques d'una fila per a un diagrama lineal. Així, el grup A_n es representa amb [3^n-1], a l'implicar n nodes connectats amb n-1 branques d'ordre 3. Per exemple, A₂ = [3,3] = [3²] o [3^1,1] representa els diagrames o .

Inicialment, Coxeter representava esquemes bifurcadors amb posicionament vertical dels números, però després ho va abreujar amb una notació exponencial, com [...,3^p,q] o [3^p,q,r], començant per [3^1,1,1] o [3,3^1,1] = o com a D₄. Coxeter va tractar als zeros com a casos especials per adaptar-se a la família A_n, com A₃ = [3,3,3,3] = [3^4,0,0] = [3^4,0] = [3^3,1] = [3^2,2], per a = = .

Els grups de Coxeter formats per esquemes cíclics estan representats entre parèntesis dins dels claudàtors, com [(p,q,r)] = per al grup triangular (p q r). Si els ordres de la branca són iguals, es poden agrupar com a exponent a la longitud del cicle entre claudàtors, com [(3,3,3,3)] = [3^[4]], per a representar el diagrama de Coxeter o . , que també es pot representar [3,(3,3,3)] o [3,3^[3]].

També es poden expressar, amb molta cura, esquemes de bucles més complicats. El grup de Coxeter paracompacte pot ser representat per la notació de Coxeter [(3,3,(3),3,3)], amb parèntesis anidats / superposats, mostrant dos bucles [(3,3,3)] adjacents, i també es representa de manera més compacta com [3^{[ ]×[ ]}], que representa la simetria ròmbica en el diagrama de Coxeter. El diagrama gràfic complet del paracompacte o , es representa com [3^[3,3]] amb el superíndex [3,3] com la simetria del seu diagrama de coxeter del tetraedre regular.

El diagrama de Coxeter sol deixar les ramificacions d'ordre 2 no-tancades, però la notació entre claudàtors inclou un 2 explícit per connectar els subgrafs. Així, el diagrama de Coxeter = A₂×A₂ = 2A₂ també es por representar com [3]×[3] = [3]² = [3,2,3]. De vegades es poden incloure dues branques explícites amb una etiqueta 2 o bé amb una línia amb un buit: o , com a presentació idèntica com [3,2,3].

Grups finits Rang Símbol del grup Notació entre claudàtors Diagrama Coxeter 2 A₂ [3] 2 B₂ [4] 2 H₂ [5] 2 G₂ [6] 2 I₂(p) [p] 3 Ih, H₃ [5,3] 3 Td, A₃ [3,3] 3 Oh, B₃ [4,3] 4 A₄ [3,3,3] 4 B₄ [4,3,3] 4 D₄ [31,1,1] 4 F₄ [3,4,3] 4 H₄ [5,3,3] n An [3n-1] .. n Bn [4,3n-2] ... n Dn [3n-3,1,1] ... 6 E₆ [32,2,1] 7 E₇ [33,2,1] 8 E₈ [34,2,1]

Grups afins Símbol del grup Notació entre claudàtors Diagrama Coxeter ${\displaystyle {\tilde {I}}_{1},{\tilde {A}}_{1}}$ [∞] ${\displaystyle {\tilde {A}}_{2}}$ [3[3]] ${\displaystyle {\tilde {C}}_{2}}$ [4,4] ${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$ [6,3] ${\displaystyle {\tilde {A}}_{3}}$ [3[4]] ${\displaystyle {\tilde {B}}_{3}}$ [4,31,1] ${\displaystyle {\tilde {C}}_{3}}$ [4,3,4] ${\displaystyle {\tilde {A}}_{4}}$ [3[5]] ${\displaystyle {\tilde {B}}_{4}}$ [4,3,31,1] ${\displaystyle {\tilde {C}}_{4}}$ [4,3,3,4] ${\displaystyle {\tilde {D}}_{4}}$ [ 31,1,1,1] ${\displaystyle {\tilde {F}}_{4}}$ [3,4,3,3] ${\displaystyle {\tilde {A}}_{n}}$ [3[n+1]] ... o ... ${\displaystyle {\tilde {B}}_{n}}$ [4,3n-3,31,1] ... ${\displaystyle {\tilde {C}}_{n}}$ [4,3n-2,4] ... ${\displaystyle {\tilde {D}}_{n}}$ [ 31,1,3n-4,31,1] ... ${\displaystyle {\tilde {E}}_{6}}$ [32,2,2] ${\displaystyle {\tilde {E}}_{7}}$ [33,3,1] ${\displaystyle {\tilde {E}}_{8}=E_{9}}$ [35,2,1]

Grups hiperbòlics Símbol del grup Notació entre claudàtors Diagrama Coxeter [p,q] amb 2(p+q)<pq [(p,q,r)] amb ${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}+{\frac {1}{r}}<1}$ ${\displaystyle {\overline {BH}}_{3}}$ [4,3,5] ${\displaystyle {\overline {K}}_{3}}$ [5,3,5] ${\displaystyle {\overline {J}}_{3},{\tilde {H}}_{3}}$ [3,5,3] ${\displaystyle {\overline {DH}}_{3}}$ [5,31,1] ${\displaystyle {\widehat {AB}}_{3}}$ [(3,3,3,4)] ${\displaystyle {\widehat {AH}}_{3}}$ [(3,3,3,5)] ${\displaystyle {\widehat {BB}}_{3}}$ [(3,4,3,4)] ${\displaystyle {\widehat {BH}}_{3}}$ [(3,4,3,5)] ${\displaystyle {\widehat {HH}}_{3}}$ [(3,5,3,5)] ${\displaystyle {\overline {H}}_{4},{\tilde {H}}_{4},H_{5}}$ [3,3,3,5] ${\displaystyle {\overline {BH}}_{4}}$ [4,3,3,5] ${\displaystyle {\overline {K}}_{4}}$ [5,3,3,5] ${\displaystyle {\overline {DH}}_{4}}$ [5,3,31,1] ${\displaystyle {\widehat {AF}}_{4}}$ [(3,3,3,3,4)]

Per als grups afins i hiperbòlics, el subíndex és inferior al nombre de nodes en cada cas, ja que cadascun d'aquests grups es va obtenir afegint un node al diagrama d'un grup finit.

Subgrups

La notació de Coxeter representa la simetria rotacional / translacional afegint un operador superíndex ⁺ fora dels claudàtors, [X]⁺ que redueix l'ordre del grup [X] a la meitat, per tant un subgrup d'índex 2. Aquest operador implica que s'hagi d'aplicar un nombre parell d'operadors, substituint les reflexions per rotacions (o traduccions). Quan s'aplica a un grup de Coxeter es denomina «subgrup directe» perquè el que queda només són isometries directes sense simetria reflexiva.

Els operadors ⁺ també es poden aplicar dins dels claudàtors, com [X,Y⁺] o [X,(Y,Z)⁺], i crea «subgrups semidirectes» que poden incloure generadors reflexius i no-reflexius. Els subgrups semidirectes només poden aplicar-se als subgrups del grup de Coxeter que tenen ordres parells de branques adjacents a ell. Els elements entre parèntesis dins d'un grup de Coxeter poden donar-se a un operador de superíndex ⁺, tenint com a efecte dividir les branques ordenades adjacents a mig ordre, per tant sol aplicar-se només amb números parells. Per exemple, [4,3⁺] i [4,(3,3)⁺] ().

Si s'aplica amb una branca senar contigua, no crea un subgrup d'índex 2, sinó que crea dominis fonamentals solapats, com [5,1⁺] = [5/2], que pot definir polígons doblement embolicats com un pentagrama, {5/2}, i [5,3⁺], que es relacionen amb el triangle de Schwarz [5/2,3], densitat 2.

Exemples en grups de rang 2

Grup		Ordre	Generadors	Subgrup		Ordre	Generadors	Notes
[p]		2p	{0,1}	[p]+		p	{01}	Subgrup directe
[2p+] = [2p]+		2p	{01}	[2p+]+ = [2p]+2 = [p]+		p	{0101}
[2p]		4p	{0,1}	[1+,2p] = [p]	= =	2p	{101,1}	Subgrups semidirectes
				[2p,1+] = [p]	= =		{0,010}
				[1+,2p,1+] = [2p]+2 = [p]+	= =	p	{0101}	Quart de subgrup

Es poden veure grups sense elements ⁺ veïns en nodes anellats en el diagrama de Coxeter-Dynkin per a politops uniformes i grups del paper pintat relacionats amb «nodes forats» al voltant dels elements ⁺, cercles buits amb els nodes alternats eliminats. Així doncs, el cub xato té simetria [4,3]⁺ (), el tetraedre xato té simetria [4,3⁺] (), i un demicub h{4,3} = {3,3} ( o = ) té simetria [1⁺,4,3] = [3,3] ( o = = ).

Nota: La simetria piritèdrica es pot escriure com , separant el graf amb buits per a la claredat, amb els generadors {0,1,2} del grup de Coxeter produint generadors piritèdrics {0,12}, un reflex i una rotació de 3-plecs. I la simetria tetraedral quiral es pot escriure com o , [1⁺,4,3⁺] = [3,3]⁺, amb generadors {12,0120}.

Subgrups reduïts a la meitat i grups ampliats

Norman Johnson estén l'operador ⁺ per a que sigui un marcador de posició 1⁺ nodes, que elimina els miralls, doblant la mida del domini fonamental i retallant l'ordre del grup a la meitat.^[1] En general, aquesta operació només s'aplica a miralls individuals delimitats per branques d'ordre parell. L'1 representa un mirall, de manera que [2p] es pot veure com [2p,1], [1,2p], o [1,2p,1], com un diagrama o , amb 2 miralls relacionats per un angle diedre d'ordre 2p. L'efecte d'una eliminació del mirall és duplicar nodes de connexió, que es poden veure en els diagrames de Coxeter: = , o en la notació entre claudàtors: [1⁺,2p, 1] = [1,p,1] = [p].

Exemple d'operacions de reducció a la meitat

[1,4,1] = [4]	= = [1+,4,1]=[2]=[ ]×[ ]
= = [1,4,1+]=[2]=[ ]×[ ]	= = = [1+,4,1+] = [2]+

Cadascun d'aquests miralls es pot eliminar de manera que h[2p] = [1⁺,2p,1] = [1,2p,1⁺] = [p] és un subgrup reflectant d'índex 2. Això es pot mostrar en un diagrama de Coxeter mitjançant afegint un símbol ⁺ a sobre del node: = = .

Si s'eliminen els dos miralls, es genera un quart de subgrup, i l'ordre de la branca es converteix en un punt de gir de la meitat de l'ordre:

q[2p] = [1⁺,2p,1⁺] = [p]⁺, és un subgrup rotacional d'índex 4. = = = = .

Per exemple, (amb p=2): [4,1⁺] = [1⁺,4] = [2] = [ ]×[ ], ordre 4. [1⁺,4,1⁺] = [2]⁺, ordre 2.

El contrari a la reducció a la mitat és la duplicació,^[2] la qual afegeix un mirall, es bisecta un domini fonamental i es duplica l'ordre grupal.

[[p]] = [2p]

Les operacions de reducció a la meitat s'apliquen per a grups de rang superior (com la simetria tetraedral, que és un mig grup del grup octaedral: h[4,3] = [1⁺,4,3] = [3,3], eliminant la meitat dels miralls fins a les 4 branques). L'efecte d'una eliminació del mirall és duplicar tots els nodes de connexió, que es poden veure als diagrames de Coxeter: = , h[2p,3] = [1⁺,2p,3] = [(p,3,3)].

Simetria tetraedral	Simetria octaedral
Td, [3,3] = [1+,4,3] = = (Ordre 24)	Oh, [4,3] = [[3,3]] (Ordre 48)

Si s'indexen nodes, es poden etiquetar mig subgrups amb nous miralls com a compostos. Igual que , generadors {0,1} té el subgrup = , generadors {1,010}, on s'elimina el mirall 0 i es substitueix per una còpia del mirall 1 reflectit al mirall. També es dòna en , generadors {0,1,2}, té el mig grup = , generadors {1,2,010}.

Doblant afegint un mirall també s'aplica en invertir l'operació a la meitat: [[3,3]] = [4,3], o de manera més general [[(q,q,p)]] = [2p,q].

Subgrups radicals

Norman Johnson també va afegir un operador asterisc o estrella * per a «subgrups radicals»,^[3] que actua de manera similar a l'operador ⁺, però elimina la simetria rotacional. L'índex del subgrup radical és l'ordre de l'element eliminat. Per exemple, [4,3*] ≅ [2,2]. El subgrup [3] eliminat és d'ordre 6 de manera que [2,2] és un subgrup d'índex 6 de [4,3].

• 
  Un subgrup radical és similar a una alternança, però elimina els generadors de rotació

Els subgrups radicals representen l'operació inversa a una operació de simetria estesa. Per exemple, [4,3*] ≅ [2,2], i a l'inversa [2,2] es poden ampliar com a [3[2,2]] ≅ [4,3]. Els subgrups també es poden expressar com a diagrama de Coxeter: o ≅ . El node eliminat (mirall) fa que els miralls virtuals del mirall adjacent es converteixin en miralls reals.

Si [4,3] té generadors {0,1,2}, [4,3⁺], índex 2, té generadors {0,12}; [1⁺,4,3] ≅ [3,3], l'índex 2 té generadors {010,1,2}; mentre que el subgrup radical [4,3*] ≅ [2,2], índex 6, té generadors {01210, 2, (012)³}; i finalment [1⁺,4,3*], l'índex 12 té generadors {0(12)²0, (012)²01}.

Subgrups triònics

Un subgrup trionic són subgrups d'índex 3. Hi ha molts que Johnson defineix com subgrup trionic amb l'operador ⅄, índex 3. Per als grups coxeter de rang 2, [3], el subgrup trionic, [3^⅄] és [ ], un únic mirall. I per a [3p], el subgrup trionic és [3p]^⅄ ≅ [p]. Donat el node , amb generadors {0,1}, té 3 subgrups trionics. Es poden diferenciar posant el símbol ⅄ després del generador de miralls per eliminar-lo, o bé en una branca per a tots dos: [3p,1^⅄] = = , = , i [3p^⅄] = = amb generadors {0,10101}, {01010,1}, o {101,010}.

Els subgrups trionics de simetria tetraèdrica: [3,3]^⅄ ≅ [2⁺,4], relacionen la simetria del tetràedre regular i el disfenoide tetragonal.

Per als grups de Coxeter de rang 3, [p,3], hi ha un subgrup trionic [p,3^⅄] ≅ [p/2,p], o = . Per exemple, el grup finit [4,3^⅄] ≅ [2,4], i el grup Euclidià [6,3^⅄] ≅ [3,6], i el grup hiperbòlic [8,3^⅄] ≅ [4,8].

• 
  Exemple de subgrups triònics rang 2, [6] amb línies de miralls de 3 colors
• 
  Grups triònics de rang 3
• 
  Grups triònics de rang 4

Per a una branca adjacent senar, p, no és reduirà l'ordre de grup, sinó que es crearan dominis fonamentals superposats. L'ordre de grup es manté igual, mentre que la densitat augmenta. Per exemple, la simetria icosaèdrica, [5,3], del poliedre regular icosaedre es converteix en [5/2,5], la simetria de dos políedres d'estrelles regulars. També relaciona els mosaics hiperbòlics {p,3} i mosaics hiperbòlics estrella {p/2,p}.

Per a rang 4, [q,2p,3^⅄] = [2p,((p,q,q))], = .

Per exemple, [3,4,3^⅄] = [4,3,3], o = , generadors {0,1,2,3} en [3,4,3] amb el subgrup triònic [4,3,3] generadors {0,1,2,32123}. Per a grups hiperbòlics, [3,6,3^⅄] = [6,3^[3]], i [4,4,3^⅄] = [4,4,4].

• 
  Exemple de subgrup triònic en simetria octaedral: [4,3^⅄] = [2,4]
• 
  Exemple de subgrup triònic en simetria hexagonal [6,3] mapejat cap a una simetria [6,3] més gran
• 
  Exemple de subgrup triònic en simetria octagonal [8,3] mapejat cap a una simetria [4,8] més gran

Subgrups triònics de simetria tetraedral

Johnson va identificar dos subgrups trionics de [3,3]:^[4]

• Primer, un subgrup d'índex 3, [3,3]^⅄ ≅ [2⁺,4], amb [3,3] ( = = ) generadors {0,1,2}. També es pot escriure com [(3,3,2^⅄)] () com a recordatori dels seus generadors {02,1}. Aquesta reducció de simetria és la relació entre el tetraedre i el disfenoide tetragonal, representant un estirament d'un tetràedre perpendicular a dues arestes oposades.
• En segon lloc, identifica un subgrup d'índex 6 relacionat [3,3]^Δ o [(3,3,2^⅄)]⁺ (), índex 3 de [3,3]⁺ ≅ [2,2]⁺, amb generadors {02,1021}, de [3,3] i els seus generadors {0,1,2}. Aquests subgrups també s'apliquen dins de grups més grans de Coxeter amb subgrup [3,3] amb totes les branques veïnes ordenades en parelles.

Aquests subgrups també s'apliquen dins de grups més grans de Coxeter amb subgrup [3,3] amb totes les branques veïnes ordenades en parelles.

• 
  [3,3]^⅄ ≅ [2⁺,4] com un dels tres conjunts de 2 miralls ortogonals en projecció estereogràfica. El vermell, el verd i el blau representen 3 jocs de miralls, i les línies grises s'extreuen els miralls, realitzant dues rotacions (diamants morats)
• 
  Relacions triòniques de [3,3]
• 
  Relacions de subgrups triònics de [3,3,4]

Per exemple, [(3,3)⁺,4], [(3,3)^⅄,4], i [(3,3)^Δ,4] són subgrups [3,3,4], índex 2, 3 i 6 respectivament. Els generadors de [(3,3)^⅄,4] ≅ [[4,2,4]] ≅ [8,2⁺,8], ordre 128, són {02,1,3} de [3,3,4] generadors {0,1,2,3}. I [(3,3)^Δ,4] ≅ [[4,2⁺,4]], ordre 64, són generadors {02,1021,3}. També [3^⅄,4,3^⅄] ≅ [(3,3)^⅄,4].

Els també relacionats [3^1,1,1] = [3,3,4,1⁺] són subgrups triònics: [3^1,1,1]^⅄ = [(3,3)^⅄,4,1⁺], ordre 64, i 1=[3^1,1,1]^Δ = [(3,3)^Δ,4,1⁺] ≅ [[4,2⁺,4]]⁺, ordre 32.

Inversió central

Una inversió central, d'ordre 2, és operativament diferent per dimensió. El grup ⁿ = [2^n-1] representa n miralls ortogonals en un espai n-dimensional, o un n-pla d'un subespai d'un espai dimensional superior. Els miralls del grup [2^n-1] són numerats 0 ... n-1. L'ordre dels miralls no importa en cas d'inversió. La matriu d'una inversió central és -I, la matriu identitat amb -1 a la diagonal.

A partir d'aquesta base, la inversió central té un generador com a producte de tots els miralls ortogonals. En la notació de Coxeter aquest grup d'inversió s'expressa afegint una alternança ⁺ a cada 2 branques. La simetria d'alternança està marcada als nodes del diagrama de Coxeter com a nodes oberts.

Un diagrama de Coxeter-Dynkin es pot marcar amb dues branques explícites que defineixen una seqüència lineal de miralls, nodes oberts i nodes doble obert compartits per mostrar l'encadenament dels generadors de reflexió.

Per exemple, [2⁺,2] i [2,2⁺] són subgrups d'índex 2 de [2,2], , i són representats com (o ) i (o ) amb generadors {01,2} i {0,12} respectivament. El seu subgrup comú d'índex 4 és [2⁺,2⁺], i és representat com (o ), amb el doble obert marcant un node compartit en les dues alternances i un únic generador per rotoreflexió {012}.

Dimensió	Notació de Coxeter	Ordre	Diagrama de Coxeter	Operació	Generador
2	[2]+	2		180° rotació, C₂	{01}
3	[2+,2+]	2		rotoreflexió, Ci o S₂	{012}
4	[2+,2+,2+]	2		doble rotació	{0123}
5	[2+,2+,2+,2+]	2		doble reflexió rotativa	{01234}
6	[2+,2+,2+,2+,2+]	2		triple rotació	{012345}
7	[2+,2+,2+,2+,2+,2+]	2		triple reflexió rotativa	{0123456}

Rotacions i reflexos rotatius

Les rotacions i els reflexos rotatius estan construïts per un producte d'un sol generador de tots els reflexos d'un grup prismàtic, [2p]×[2q]× ... on mcd (p,q)=1, són isomorfs al grup cíclic abstracte Z_n, d'ordre n=2pq.

Les rotacions dobles en 4 dimensions, [2p⁺,2⁺,2q⁺] (amb mcd (p,q)=1), que inclouen un grup central, i són expressades per Conway com ±[C_p×C_q],^[5] ordre 2pq. A partir del diagrama de Coxeter , els generadors {0,1,2,3}, el generador únic de [2p⁺,2⁺,2q⁺], és {0123}. El semigrup [2p⁺,2⁺,2q⁺]⁺, o graf cíclic,[(2p⁺,2⁺,2q⁺,2⁺)], , és expressat per Conway com [C_p×C_q], ordre pq, amb generador {01230123}.

Si hi ha un factor comú f, la doble rotació es pot escriure com ¹⁄_f [2pf⁺,2⁺,2qf⁺] (amb mcd (p,q)=1), generador {0123}, ordre 2pqf. Per exemple, p=q=1, f=2, ¹⁄₂[4⁺,2⁺,4⁺] és d'ordre 4. I ¹⁄_f [2pf⁺,2⁺,2qf⁺]⁺, generador {01230123}, és d'ordre pqf. Per exemple, ¹⁄₂[4⁺,2⁺,4⁺]⁺ és d'ordre 2, una inversió central.

Exemples

Dimensió	Notació de Coxeter	Ordre	Diagrama de Coxeter	Operació	Generador	Subgrup directe
2	[2p]+	2p		Rotació	{01}	[2p]+2	Rotació simple: [2p]+2 = [p]+ ordre p
3	[2p+,2+]			rotoreflexió	{012}	[2p+,2+]+
4	[2p+,2+,2+]			doble rotació	{0123}	[2p+,2+,2+]+
5	[2p+,2+,2+,2+]			doble reflexió rotativa	{01234}	[2p+,2+,2+,2+]+
6	[2p+,2+,2+,2+,2+]			triple rotació	{012345}	[2p+,2+,2+,2+,2+]+
7	[2p+,2+,2+,2+,2+,2+]			triple reflexió rotativa	{0123456}	[2p+,2+,2+,2+,2+,2+]+
4	[2p+,2+,2q+]	2pq		doble rotació	{0123}	[2p+,2+,2q+]+	Doble rotació: [2p+,2+,2q+]+ ordre pq mcd(p,q)=1
5	[2p+,2+,2q+,2+]			doble reflexió rotativa	{01234}	[2p+,2+,2q+,2+]+
6	[2p+,2+,2q+,2+,2+]			triple rotació	{012345}	[2p+,2+,2q+,2+,2+]
7	[2p+,2+,2q+,2+,2+,2+]			triple reflexió rotativa	{0123456}	[2p+,2+,2q+,2+,2+,2+]+
6	[2p+,2+,2q+,2+,2r+]	2pqr		triple rotació	{012345}	[2p+,2+,2q+,2+,2r+]+	Triple rotació: [2p+,2+,2q+,2+,2r+]+ ordre pqr mcd(p,q,r)=1
7	[2p+,2+,2q+,2+,2r+,2+]			triple reflexió rotativa	{0123456}	[2p+,2+,2q+,2+,2r+,2+]+

Subgrups comutadors

Els grups simples amb només elements de branques d'ordre imparell tenen només un subgrup de rotació / translació d'ordre 2, que també és el subgrup commutador, per exemple 3,3⁺, [3,5]⁺, [3,3,3]⁺, [3,3,5]⁺. Per a altres grups de Coxeter amb branques d'ordre parell, el subgrup commutator té l'índex 2^c, on c és el nombre de subgrafes desconnectats quan s'eliminen totes les branques d'ordre parell.^[6] Per exemple, [4,4] té tres nodes independents al diagrama de Coxeter quan s'eliminen els «4», de manera que el seu subgrup de commutador és l'índex 2³, i pot tenir diferents representacions, totes amb tres operadors ⁺: [4⁺,4⁺]⁺, [1⁺,4,1⁺,4,1⁺], [1⁺,4,4,1⁺]⁺, o [(4⁺,4⁺,2⁺)]. Es pot fer servir una notació general amb +c com a exponent de grup, com [4,4]⁺³.

Exemples de subgrups

Exemples de subgrups de rang 2

Els grups de simetria diedral amb ordres parells tenen diversos subgrups. Aquest exemple mostra dos miralls generadors de [4] en vermell i verd, i mira a tots els subgrups per la meitat, la reducció de rang i els seus subgrups directes. El grup [4], té dos generadors de miralls 0 i 1. Cadascun genera dos miralls virtuals 101 i 010 per reflexió entre els altres.

Subgrups de [4]
Índex	1	2 (meitat)		4 (reducció de rang)
Diagrama
Coxeter	[1,4,1] = [4]	= = [1+,4,1] = [1+,4] = [2]	= = [1,4,1+] = [4,1+] = [2]	[1] = [ ]	[1] = [ ]
Generadors	{0,1}	{101,1}	{0,010}	{0}	{1}
Subgrups directes
Índex	2	4		8
Diagrama
Coxeter	[4]+	= = = [4]+2 = [1+,4,1+] = [2]+		[ ]+
Generadors	{01}	{(01)²}		{0²} = {1²} = {(01)4} = { }

Exemples de subgrups de rang 3 euclidians

El grup [4,4] compta amb 15 petits índex de subgrups. Aquesta taula els mostra tots, amb un domini fonamental groc per a grups reflectants purs i alternant dominis blancs i blaus que es combinen per fer dominis rotatius. Les línies de mirall cian, vermell i verd corresponen als nodes de colors del diagrama de Coxeter. Els generadors de subgrups es poden expressar com a productes dels tres miralls originals del domini fonamental, {0,1,2}, que corresponen als 3 nodes del diagrama de Coxeter, . Un producte de dues línies de reflexió que s'entrecreuen fa una rotació, com {012}, {12} o {02}. Eliminar un mirall provoca dues còpies de miralls veïns, a través del mirall eliminat, com {010} i {212}. Dues rotacions en sèrie tallen l'ordre de rotació a la meitat, com {0101} o {(01)²}, {1212} o {(02)²}. Un producte dels tres miralls crea una transreflexió, com {012} o {120}.

Subgrups d'índex petit de [4,4]
Índex	1	2			4
Diagrama
Coxeter	[1,4,1,4,1] = [4,4]	[1+,4,4] =	[4,4,1+] =	[4,1+,4] =	[1+,4,4,1+] =	[4+,4+]
Generadors	{0,1,2}	{010,1,2}	{0,1,212}	{0,101,121,2}	{010,1,212,20102}	{(01)²,(12)²,012,120}
Orbifold	*442			*2222		22×
Subgrups semidirectes
Índex		2			4
Diagrama
Coxeter		[4,4+]	[4+,4]	[(4,4,2+)] =	[4,1+,4,1+] = =	[1+,4,1+,4] = =
Generadors		{0,12}	{01,2}	{02,1,212}	{0,101,(12)²}	{(01)²,121,2}
Orbifold		4*2		2*22
Subgrups directes
Index	2	4			8
Diagrama
Coxeter	[4,4]+ =	[4,4+]+ =	[4+,4]+ =	[(4,4,2+)]+ =	[4,4]+3 = [(4+,4+,2+)] = [1+,4,1+,4,1+] = [4+,4+]+ = = = =
Generadors	{01,12}	{(01)²,12}	{01,(12)²}	{02,(01)²,(12)²}	{(01)²,(12)²,2(01)²2}
Orbifold	442			2222
Subgrups radicals
Índex		8		16
Diagrama
Coxeter		[4,4*] =	[4*,4] =	[4,4*]+ =	[4*,4]+ =
Orbifold		*2222		2222

Exemples de grups hiperbòlics

El mateix conjunt de 15 petits subgrups existeix en tots els grups de triangles amb elements d'ordre parell, com [6,4] en el pla hiperbòlic:

Subgrups d'índex petit de [6,4]
Índex	1	2			4
Diagrama
Coxeter	[1,6,1,4,1] = [6,4]	[1+,6,4] =	[6,4,1+] =	[6,1+,4] =	[1+,6,4,1+] =	[6+,4+]
Generadors	{0,1,2}	{010,1,2}	{0,1,212}	{0,101,121,2}	{010,1,212,20102}	{(01)²,(12)²,012}
Orbifold	*642	*443	*662	*3222	*3232	32×
Subgrups semidirectes
Diagrama
Coxeter		[6,4+]	[6+,4]	[(6,4,2+)]	[6,1+,4,1+] = = = =	[1+,6,1+,4] = = = =
Generadors		{0,12}	{01,2}	{02,1,212}	{0,101,(12)²}	{(01)²,121,2}
Orbifold		4*3	6*2	2*32	2*33	3*22
Subgrups directes
Índex	2	4			8
Diagrama
Coxeter	[6,4]+ =	[6,4+]+ =	[6+,4]+ =	[(6,4,2+)]+ =	[6+,4+]+ = [1+,6,1+,4,1+] = = =
Generators	{01,12}	{(01)²,12}	{01,(12)²}	{02,(01)²,(12)²}	{(01)²,(12)²,201012}
Orbifold	642	443	662	3222	3232
Subgrups radicals
Índex		8	12	16	24
Diagrama
Coxeter (Orbifold)		[6,4*] = (*3333)	[6*,4] (*222222)	[6,4*]+ = (3333)	[6*,4]+ (222222)

Simetria ampliada

La notació de Coxeter inclou una notació de doble claudàtor [[X]] per expressar la simetria automòrfica dins d'un diagrama de Coxeter. Johnson va afegir una opció alternativa, l'angle-claudàtor <[X]> o ⟨[X]⟩, com a opció equivalent al doble claudàtor per a distingir la simetria del diagrama a través dels nodes enfront de les branques. Johnson també va afegir un modificador de simetria de prefix [Y[X]], on Y pot representar la simetria del diagrama de Coxeter de [X], o bé la simetria del domini fonamental de [X].

Grup de paper pintat Simetria del triangle Simetria estesa Diagrama estès Grup estès Cel·les p3m1 (*333) a1 [3[3]] ${\displaystyle {\tilde {A}}_{2}}$ (cap) p6m (*632) i2 [[3[3]]] ↔ [6,3] ↔ ${\displaystyle {\tilde {A}}_{2}\times 2\leftrightarrow {\tilde {G}}_{2}}$ 1, 2 p31m (3*3) g3 [3+[3[3]]] ↔ [6,3+] ${\displaystyle {\tilde {A}}_{2}\times 3\leftrightarrow {\tfrac {1}{2}}{\tilde {G}}_{2}}$ (cap) p6 (632) r6 [3[3[3]]]+ ↔ [6,3]+ ↔ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\tilde {A}}_{2}\times 6\leftrightarrow {\tfrac {1}{2}}{\tilde {G}}_{2}}$ (1) p6m (*632) [3[3[3]]] ↔ [6,3] ${\displaystyle {\tilde {A}}_{2}\times 6\leftrightarrow {\tilde {G}}_{2}}$ 3

En el pla euclidià, el grup de Coxeter ${\displaystyle {\tilde {A}}_{2}}$, [3[3]] es pot estendre de dues maneres al grup de Coxeter ${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$, [6,3] i relaciona les cel·les uniformes com a diagrames anellats.

Per exemple, en 3D aquests esquemes de geometria equivalents rectangle i ròmbic de ${\displaystyle {\tilde {A}}_{3}}$: i , el primer es va duplicar amb claudàtors, [[3^[4]]] o dos cops com a [2[3^[4]]], amb simetries superiors [2], ordre 4. Per diferenciar el segon, es fan servir els angles-claudators per a duplicar, ⟨[3 ^[4] ]⟩ i dues vegades duplicat per ⟨2 [3 ^[4] ]⟩, també amb una simetria [2] diferent, d'ordre 4. Finalment, una simetria completa on els 4 nodes són equivalents es pot representar amb [4[3^[4]]], amb l'ordre 8, simetria [4] del quadrat. Però tenint en compte el domini disfenoide tetragonal fonamental, la simetria estesa [4] del gràfic quadrat es pot marcar de manera més explícita com [(2⁺,4)[3^[4]]] o [2⁺,4[3^[4]]].

Hi ha més simetria a la cíclica ${\displaystyle {\tilde {A}}_{n}}$ i a les branque dels diagrames ${\displaystyle D_{3}}$, ${\displaystyle {\tilde {E}}_{6}}$, i ${\displaystyle {\tilde {D}}_{4}}$. ${\displaystyle {\tilde {A}}_{n}}$ té ordre de 2n simetria d'un n-gon regular {n}, i està representat per [n[3^[n]]]. ${\displaystyle D_{3}}$ i ${\displaystyle {\tilde {E}}_{6}}$ estan representats per [3[3^1,1,1]] = [3,4,3] i [3[3^2,2,2]] respectivament, mentre ${\displaystyle {\tilde {D}}_{4}}$ per [(3,3)[3^1,1,1,1]] = [3,3,4,3], amb el diagrama que conté la simetria d'ordre 24 del tetraedre, {3,3}. El grup hiperbòlic paracompacte ${\displaystyle {\bar {L}}_{5}}$ = [3^1,1,1,1,1], , conté la simetria d'un 5-cell, {3,3,3}, que es representa per [(3,3,3)[3^1,1,1,1,1]] = [3,4,3,3,3].

Un asterisc superíndex ^* és efectivament una operació inversa, creant subgrups radicals eliminant la connexió de miralls imparells ordenats.^[7]

Exemples:

Exemple de grups estesos i subgrups radicals

Grups estesos Subgrups radicals Diagrames de Coxeter Índex [3[2,2]] = [4,3] [4,3*] = [2,2] = 6 [(3,3)[2,2,2]] = [4,3,3] [4,(3,3)*] = [2,2,2] = 24 [1[31,1]] = [[3,3]] = [3,4] [3,4,1+] = [3,3] = 2 [3[31,1,1]] = [3,4,3] [3*,4,3] = [31,1,1] = 6 [2[31,1,1,1]] = [4,3,3,4] [1+,4,3,3,4,1+] = [31,1,1,1] = 4 [3[3,31,1,1]] = [3,3,4,3] [3*,4,3,3] = [31,1,1,1] = 6 [(3,3)[31,1,1,1]] = [3,4,3,3] [3,4,(3,3)*] = [31,1,1,1] = 24 [2[3,31,1,1,1]] = [3,(3,4)1,1] [3,(3,4,1+)1,1] = [3,31,1,1,1] = 4 [(2,3)[1,131,1,1]] = [4,3,3,4,3] [3*,4,3,3,4,1+] = [31,1,1,1,1] = 12 [(3,3)[3,31,1,1,1]] = [3,3,4,3,3] [3,3,4,(3,3)*] = [31,1,1,1,1] = 24 [(3,3,3)[31,1,1,1,1]] = [3,4,3,3,3] [3,4,(3,3,3)*] = [31,1,1,1,1] = 120

Grups estesos Subgrups radicals Diagrames de Coxeter Índex [1[3[3]]] = [3,6] [3,6,1+] = [3[3]] = 2 [3[3[3]]] = [6,3] [6,3*] = [3[3]] = 6 [1[3,3[3]]] = [3,3,6] [3,3,6,1+] = [3,3[3]] = 2 [(3,3)[3[3,3]]] = [6,3,3] [6,(3,3)*] = [3[3,3]] = 24 [1[∞]²] = [4,4] [4,1+,4] = [∞]² = [∞]×[∞] = [∞,2,∞] = 2 [2[∞]²] = [4,4] [1+,4,4,1+] = [(4,4,2*)] = [∞]² = 4 [4[∞]²] = [4,4] [4,4*] = [∞]² = 8 [2[3[4]]] = [4,3,4] [1+,4,3,4,1+] = [(4,3,4,2*)] = [3[4]] = = 4 [3[∞]3] = [4,3,4] [4,3*,4] = [∞]3 = [∞,2,∞,2,∞] = 6 [(3,3)[∞]3] = [4,31,1] [4,(31,1)*] = [∞]3 = 24 [(4,3)[∞]3] = [4,3,4] [4,(3,4)*] = [∞]3 = 48 [(3,3)[∞]4] = [4,3,3,4] [4,(3,3)*,4] = [∞]4 = 24 [(4,3,3)[∞]4] = [4,3,3,4] [4,(3,3,4)*] = [∞]4 = 384

Si veiem els generadors, la doble simetria es veu com afegir un nou operador que mapeja posicions simètriques al diagrama de Coxeter, fent que alguns generadors originals siguin redundants. Per als grups 3D i els grups de punts 4D, Coxeter defineix un subgrup de dos índexs de [[X]], [[X]⁺], que ell defineix. com a producte dels generadors originals de [X] pel generador duplicat. Sembla semblant a [[X]]⁺, que és el subgrup quiral de [[X]]. Així, per exemple, els grups espacials 3D [[4,3,4]]⁺ (I432, 211) i [[4,3,4]⁺] (Pm3n, 223) són diferents subgrups de [[4,3,4]] (Im3m, 229).

Càlcul amb matrius de reflexió com a generadors de simetria

Un grup Coxeter, representat pel diagrama de Coxeter , es dona la notació Coxeter com [p, q] per a les ordres de la branca. Cada node del diagrama de Coxeter representa un mirall, anomenat per convenció ρ_i (i la matriu R_i). Els generadors d'aquest grup [p, q] són reflexions: ρ₀, ρ₁, i ρ₂. La subsimetria rotacional es dona com a productes de les reflexions: Per convenció, σ_0,1 (i la matriu S_0,1) = ρ₀ρ₁ representa una rotació de l'angle π/p, i σ_1,2 = ρ₁ρ₂ és una rotació de l'angle π/q, i σ_0,2 = ρ₀ρ₂ representa una rotació de l'angle π/2.

[p,q]⁺, , és un subgrup d'índex 2 representat per dos generadors de rotació, cadascun dels productes de dues reflexions: σ_0,1, σ_1,2 i que representen rotacions dels angles π/p, i π/q respectivament.

Amb una branca parella, [p⁺,2q], o , és un altre subgrup de l'índex 2, representat pel generador de rotació σ_0,1 i ρ₂ reflexional.

Amb branques parelles, [2p⁺,2q⁺], , és un subgrup d'índex 4 amb dos generadors, construït com a producte de les tres matrius de reflexió: Per convenció com a: ψ_0,1,2 and ψ_1,2,0, que són rotacions reflexives, que representen una reflexió i rotació o reflexió.

En el cas de grups de Coxeter afins com , o , un mirall, normalment el darrer, es trasllada des de l'origen. Una translació d'un generador τ_0,1 (i la matriu T_0,1) es construeix com el producte de dues (o un nombre parell de) reflexions, inclosa la reflexió afí. Una transreflexió (reflexió més una translació) pot ser el producte d'un nombre senar de reflexionsφ_0,1,2 (i la matriu V_0,1,2), com el subgrup d'índex 4 : [4⁺,4⁺] = .

Un altre generador compost, per convenció com ζ (i matriu Z), representa la inversió, mapejant un punt a la seva inversa. Per a [4,3] i [5,3], ζ = (ρ₀ρ₁ρ₂)^h/2, on h és 6 i 10 respectivament, el número de Coxeter per a cada família. Per al grup de Coxeter 3D [p,q] (), aquest subgrup és una reflexió rotativa [2⁺,h⁺].

Els grups de Coxeter es classifiquen segons el seu rang, sent el nombre de nodes del seu diagrama de Coxeter-Dynkin. L'estructura dels grups també es dona amb els seus tipus de grups abstractes: En aquest article, els grups dièdrics abstractes es representen com Dih_n, i grups cíclics estan representats per Z_n, with Dih₁=Z₂.

Rang 2

Per exemple, en 2D, el grup de Coxeter [p] () està representat per dues matrius de reflexió, R₀ i R₁. La simetria cíclica [p]⁺ () es representa mitjançant la matriu generadora de rotació S_0,1.

[p], Reflexions Rotació Nom R0 R1 S0,1=R0×R1 Ordre 2 2 p Matriu ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]}$ ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\cos 2\pi /p&\sin 2\pi /p\\\sin 2\pi /p&-\cos 2\pi /p\\\end{smallmatrix}}\right]}$ ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\cos 2\pi /p&\sin 2\pi /p\\-\sin 2\pi /p&\cos 2\pi /p\\\end{smallmatrix}}\right]}$	[2], Reflexions Rotació Nom R0 R1 S0,1=R0×R1 Ordre 2 2 2 Matriu ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]}$ ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}-1&0\\0&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$ ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}-1&0\\0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]}$
[3], Reflexions Rotació Nom R0 R1 S0,1=R0×R1 Ordre 2 2 3 Matriu ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]}$ ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}-1/2&{\sqrt {3}}/2\\{\sqrt {3}}/2&1/2\\\end{smallmatrix}}\right]}$ ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}-1/2&{\sqrt {3}}/2\\-{\sqrt {3}}/2&-1/2\\\end{smallmatrix}}\right]}$	[4], Reflexions Rotació Nom R0 R1 S0,1=R0×R1 Ordre 2 2 4 Matriu ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]}$ ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\\\end{smallmatrix}}\right]}$ ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&1\\-1&0\\\end{smallmatrix}}\right]}$

Rang 3

Els grups de Coxeter de rang 3 finits són [1,p], [2,p], [3,3], [3,4], i [3,5].

Per reflectir un punt a través d'un pla ${\displaystyle ax+by+cz=0}$ (que passa per l'origen), es pot utilitzar ${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {I} -2\mathbf {NN} ^{T}}$, on ${\displaystyle \mathbf {I} }$ és la matriu identitat 3x3 i ${\displaystyle \mathbf {N} }$ és el vector unitari tridimensional per al vector normal del pla. Si la norma L2 de ${\displaystyle a,b,}$ and ${\displaystyle c}$ és unitat, la matriu de transformació es pot expressar com:

${\displaystyle \mathbf {A} =\left[{\begin{smallmatrix}1-2a^{2}&-2ab&-2ac\\-2ab&1-2b^{2}&-2bc\\-2ac&-2bc&1-2c^{2}\end{smallmatrix}}\right]}$

Simetria diedral

El grup reflector finit tridimensional reductible té simetria diedral, [p,2], ordre 4p, . Els generadors de reflexió són les matrius R₀, R₁, R₂. R₀²=R₁²=R₂²=(R₀×R₁)³=(R₁×R₂)³=(R₀×R₂)²=Identitat.

[p,2]⁺ () està generat per de 2 a 3 rotacions: S_0,1, S_1,2.

[p,2],

	Reflexions			Rotacions			Rotoreflexions
Nom	R0	R1	R₂	S0,1	S1,2	S0,2	V0,1,2
Grup
Ordre	2	2	2	p	2		2p
Matriu	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\cos 2\pi /p&\sin 2\pi /p&0\\\sin 2\pi /p&-\cos 2\pi /p&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\cos 2\pi /p&\sin 2\pi /p&0\\-\sin 2\pi /p&\cos 2\pi /p&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\cos 2\pi /p&\sin 2\pi /p&0\\-\sin 2\pi /p&\cos 2\pi /p&0\\0&0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\cos 2\pi /p&-\sin 2\pi /p&0\\-\sin 2\pi /p&-\cos 2\pi /p&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$

Simetria tetraedral

Línies de reflexió de [3,3] =

El grup reflector finit tridimensional més simple ireductible és la simetria tetraedral, [3,3], ordre 24, . Els generadors de reflexió, d'una construcció D₃=A₃, són les matrius R₀, R₁, R₂. R₀²=R₁²=R₂²=(R₀×R₁)³=(R₁×R₂)³=(R₀×R₂)²=Identitat.

[3,3]⁺ () està generat per de 2 a 3 rotacions: S_0,1, S_1,2, i S_0,2. Un subgrup triònic, isomórfic a [2⁺,4], ordre 8, és generat per S_0,2 i R₁.

Una rotoreflexió d'ordre 4 és generat per V_0,1,2, el producte de les tres reflexions.

[3,3],

	Reflexions			Rotacions			Rotoreflexions
Nom	R0	R1	R₂	S0,1	S1,2	S0,2	V0,1,2
Nom
Ordre	2	2	2	3		2	4
Matriu	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&0&-1\\0&-1&0\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&0&-1\\1&0&0\\0&-1&0\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&0&-1\\0&-1&0\\1&0&0\\\end{smallmatrix}}\right]}$
	(0,1,-1)n	(1,-1,0)n	(0,1,1)n	(1,1,1)axial	(1,1,-1)axial	(1,0,0)axial

Simetria octaedral

Línies de reflexió per a [4,3] =

Un altre grup reflector irreductible en tres dimensions és la simetria octaedral, [4,3], ordre 48, . Les matrius dels generadors de reflexió són R₀, R₁, R₂. R₀²=R₁²=R₂²=(R₀×R₁)⁴=(R₁×R₂)³=(R₀×R₂)²=Identitat.

La simetria octaèdrica quiral, [4,3]⁺, () es generat per de 2 a 3 rotacions: S_0,1, S_1,2, i S_0,2. La simetria piritoedral [4,3 ⁺ ], [4,3]⁺, () es genera mitjançant la reflexió R₀ i rotació S_1,2.

Una rotoreflexió de sis plecs és generada per V_0,1,2, el producte de les tres reflexions.

[4,3],

	Reflexions			Rotacions			Rotoreflexions
Nom	R0	R1	R₂	S0,1	S1,2	S0,2	V0,1,2
Grup
Ordre	2	2	2	4	3	2	6
Matriu	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\0&0&1\\-1&0&0\\\end{smallmatrix}}\right]}$
	(0,0,1)n	(0,1,-1)n	(1,-1,0)n	(1,0,0)axial	(1,1,1)axial	(1,-1,0)axial

Simetria icosaedral

Línies de reflexió de [5,3] =

Un grup reflexiu finit irreductible tridimensional és la simetria icosaèdrica, [5,3], ordre 120, . Les matrius dels generadors de reflexió són R₀, R₁, R₂. R₀²=R₁²=R₂²=(R₀×R₁)⁵=(R₁×R₂)³=(R₀×R₂)²=Identitat.

[5,3]⁺ () es genera per de 2 a 3 rotacions: S_0,1, S_1,2, i S_0,2.

Una rotoreflexió de deu plecs és generat per V_0,1,2, el producte de les tres reflexions.

[5,3],

	Reflexions			Rotacions			Rotoreflexions
Nom	R0	R1	R₂	S0,1	S1,2	S0,2	V0,1,2
Grup
Ordre	2	2	2	5	3	2	10
Matriu	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {-1}{2}}\\{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}\\{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {\phi }{2}}\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}{\frac {\phi -1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}\\{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {\phi }{2}}\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {-1}{2}}\\{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}\\{\frac {-1}{2}}&{\frac {\phi -1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}{\frac {\phi -1}{2}}&{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}\\{\frac {-1}{2}}&{\frac {\phi -1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\end{smallmatrix}}\right]}$
	(1,0,0)n	${\displaystyle ({\begin{smallmatrix}{\frac {\phi }{2}},{\frac {1}{2}},{\frac {\phi -1}{2}}\end{smallmatrix}})}$n	(0,1,0)n	(φ,1,0)axial	(1,1,1)axial	(1,0,0)axial

Rang 3 afí

Un exemple simple de grup afí és [4,4] () (p4m), que es pot donar per tres matrius de reflexió, construïdes com una reflexió a través de l'eix x (y=0), una diagonal (x=y), i la reflexió afí a través de la línia (x=1). [4,4]⁺ () (p4) és generat per S_0,1 S_1,2, i S_0,2. [4⁺,4⁺] () (pgg) es genera per una rotació de dos plecs S_0,2 i transreflexió V_0,1,2. [4⁺,4] () (p4g) és generat per S_0,1 i R₃. El grup [(4,4,2⁺)] () (cmm), està generat per una rotació de dos plecs S_1,3 i reflexió R₂.

[4,4],

	Reflexions			Rotacions			Rotoreflexions
Nom	R0	R1	R₂	S0,1	S1,2	S0,2	V0,1,2
Grup
Ordre	2	2	2	4		2	∞
Matriu	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}-1&0&2\\0&1&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\-1&0&2\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}-1&0&2\\0&-1&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\1&0&-2\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$

Rang 4

Simetria hiperoctaedral o hexadecacòrica

Un grup reflexiu finit irreductible de 4 dimensions és un grup hiperoctaedral (o un grup hexadecàric (per a 16-cell)), B₄=[4,3,3], ordre 384, . Les matrius dels generadors de reflexió són R₀, R₁, R₂, R₃. R₀²=R₁²=R₂²=R₃²=(R₀×R₁)⁴=(R₁×R₂)³=(R₂×R₃)³=(R₀×R₂)²=(R₁×R₃)²=(R₀×R₃)²=Identitat.

La simetria hiperoctaedral quiral, [4,3,3]⁺, () és generada per de 3 a 6 rotacions: S_0,1, S_1,2, S_2,3, S_0,2, S_1,3, i S_0,3. La simetria hiperpiritoedral [4,(3,3)⁺], () és generat per R₀ reflexions i S_1,2 i S_2,3 rotacions.

Una doble rotació de vuit plecs és generada per W_0,1,2,3, el producte de totes les quatre reflexions.

[4,3,3],

	Reflexions				Rotacions						Rotoreflexions				Doble rotació
Nom	R0	R1	R₂	R₃	S0,1	S1,2	S2,3	S0,2	S1,3	S0,3	V1,2,3	V0,1,3	V0,1,2	V0,2,3	W0,1,2,3
Grup
Ordre	2	2	2	2	4	3		2			4		6		8
Matriu	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&-1&0\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&1&0&0\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\1&0&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&-1&0\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&-1&0\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\1&0&0&0\\0&0&0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\-1&0&0&0\\\end{smallmatrix}}\right]}$
	(0,0,0,1)n	(0,0,1,-1)n	(0,1,-1,0)n	(1,-1,0,0)n

Simetria icositetracòrica

Un grup reflexiu finit irreductible en 4 dimensions és el grup icositetracòric (per a 24-cell), F₄=[3,4,3], ordre 1152, . Les matrius dels generadors de reflexió són R₀, R₁, R₂, R₃. R₀²=R₁²=R₂²=R₃²=(R₀×R₁)³=(R₁×R₂)⁴=(R₂×R₃)³=(R₀×R₂)²=(R₁×R₃)²=(R₀×R₃)²=Identitat.

La simetria icositetracòrica quiral, [3,4,3]⁺, () és generada per de 3 a 6 rotacions: S_0,1, S_1,2, S_2,3, S_0,2, S_1,3, id S_0,3. El grup jònic disminuït [3,4,3⁺], () és generat per R₀ reflexions i S_1,2 i S_2,3 rotacions.

Una doble rotació de dotze plecs és generada per W_0,1,2,3, el producte de totes les quatre reflexions.

[3,4,3],

	Reflexions				Rotacions
Nom	R0	R1	R₂	R₃	S0,1	S1,2	S2,3	S0,2	S1,3	S0,3
Grup
Ordre	2	2	2	2	3	4	3	2
Matriu	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1/2&-1/2&-1/2&-1/2\\-1/2&1/2&-1/2&-1/2\\-1/2&-1/2&1/2&-1/2\\-1/2&-1/2&-1/2&1/2\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1/2&-1/2&1/2&-1/2\\-1/2&1/2&1/2&-1/2\\-1/2&-1/2&-1/2&-1/2\\-1/2&-1/2&1/2&1/2\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\1&0&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1/2&-1/2&-1/2&-1/2\\-1/2&-1/2&1/2&-1/2\\-1/2&1/2&-1/2&-1/2\\-1/2&-1/2&-1/2&1/2\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}-1/2&1/2&-1/2&-1/2\\1/2&-1/2&-1/2&-1/2\\-1/2&-1/2&1/2&-1/2\\-1/2&1/2&-1/2&1/2\\\end{smallmatrix}}\right]}$
	(-1,-1,-1,-1)n	(0,0,1,0)n	(0,1,-1,0)n	(1,-1,0,0)n

[3,4,3],

	Rotoreflexions				Doble rotació
Nom	V1,2,3	V0,1,3	V0,1,2	V0,2,3	W0,1,2,3
Grup
Ordre	6				12
Matriu	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1/2&1/2&-1/2&-1/2\\-1/2&1/2&1/2&-1/2\\-1/2&-1/2&-1/2&-1/2\\-1/2&1/2&-1/2&1/2\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}-1/2&1/2&1/2&-1/2\\1/2&-1/2&1/2&-1/2\\-1/2&-1/2&-1/2&-1/2\\-1/2&-1/2&1/2&1/2\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}-1/2&1/2&-1/2&-1/2\\-1/2&-1/2&1/2&-1/2\\1/2&-1/2&-1/2&-1/2\\-1/2&-1/2&-1/2&1/2\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\-1&0&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1/2&1/2&-1/2&-1/2\\1/2&-1/2&1/2&-1/2\\-1/2&-1/2&-1/2&-1/2\\1/2&-1/2&-1/2&1/2\\\end{smallmatrix}}\right]}$

Simetria hipericosaedral

La simetria hipericosaedral, [5,3,3], ordre 14400, . Les matrius dels generadors de reflexió són R₀, R₁, R₂, R₃. R₀²=R₁²=R₂²=R₃²=(R₀×R₁)⁵=(R₁×R₂)³=(R₂×R₃)³=(R₀×R₂)²=(R₀×R₃)²=(R₁×R₃)²=Identitat.

[5,3,3]⁺ () és generada per tres rotacions: S_0,1 = R₀×R₁, S_1,2 = R₁×R₂, S_2,3 = R₂×R₃, etc.

[5,3,3],

	Reflexions
Nom	R0	R1	R₂	R₃
Grup
Ordre	2	2	2	2
Matriu	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {-1}{2}}&0\\{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}&0\\{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {\phi }{2}}&0\\0&0&0&1\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&{\frac {-1}{2}}&{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}\\0&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\0&{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\end{smallmatrix}}\right]}$
	(1,0,0,0)n	${\displaystyle ({\begin{smallmatrix}{\frac {\phi }{2}},{\frac {1}{2}},{\frac {\phi -1}{2}},0\end{smallmatrix}})}$n	(0,1,0,0)n	${\displaystyle ({\begin{smallmatrix}0,{\frac {1}{2}},{\frac {\phi }{2}},{\frac {\phi -1}{2}}\end{smallmatrix}})}$n

Grups de rang 1

En una dimensió, el grup bilateral [] representa una simetria especular única, Dih₁ o Z₂ abstracte, simetria d'ordre 2. Es representa amb el diagrama de Coxeter-Dynkin amb un sol node, . El grup d'identitat és el subgrup directe [ ]⁺, Z₁, simetria d'ordre 1. El superíndex simpe + implica que s'ignorin reflexos de miralls alternatius, deixant el grup d'identitat en aquest cas més senzill. Coxeter va utilitzar un sol node obert per representar una alternança, .

Grup	Notació de Coxeter	Diagrama de Coxeter	Ordre	Descripció
C1	[ ]+		1	Identitat
D1	[ ]		2	Grup de reflexió

Grups de rang 2

Un hexàgon regular, amb arestes i vèrtexs marcats, té 8 simetries: [6], [3], [2], [1], [6]⁺, [3]⁺, [2]⁺, [1]⁺, amb [3] i [1] existents en dues formes, segons si els miralls són a les arestes o vèrtexs

En dues dimensions, el grup rectangular [2], abstracte D₁² o D₂, també es pot representar com a producte directe [ ]×[ ], sent el producte de dos grups bilaterals, representa dos miralls ortogonals, amb diagrama de Coxeter, amb ordre 4. El 2 in [2] prové de la linealització dels subgrafs ortogonals del diagrama de Coxeter , com passa amb la branca explícita d'ordre 2. El grup ròmbic [2]⁺ ( o ), la meitat del grup rectangular, la simetria de reflexió puntual, Z₂, ordre 2.

La notació de Coxeter permet un marcador de lloc 1 per a grups de rang inferior, de manera que [1] és el mateix que [ ], i [1+] o [1]⁺ és el mateix que [ ]⁺ i el diagrama de Coxeter .

El grup p-gonal complet [p], grup diedral D_p abstracte, (no-abelià per a p> 2), d'ordre 2p, és generat per dos miralls a angle π/p, representat pel diagrama de Coxeter . El subgrup p-gonal [p]⁺, grup cíclic Z_p, d'ordre p', generat per un angle de gir π/p.

La notació de coxeter utilitza un doble claudàtor per representar un doble automorfisme de simetria afegint un mirall bisectant al domini fonamental. Per exemple, [[p]] afegeix un mirall bisectant a [p] i és isomòrfic a [2p].

En el límit, baixant a la primera dimensió, s'obté el grup apeirogonal complet quan l'angle tendeix a zero, de manera que [∞], abstractament, el grup diedral infinit D_∞, representa dos miralls paral·lels i té un diagrama de Coxeter . El grup apeirogonal [∞]⁺, , abstractament el cíclic grup infitit Z_∞, isomorf al grup additiu dels nombres enters, és generat per una sola translació diferent de zero.

En el pla hiperbòlic, hi ha un grup [iπ/λ], i un subgrup pseudogonal [iπ/λ]⁺, . Aquests grups existeixen en polígons regulars de cara infinita, amb una longitud d'aresta λ. Els miralls són tots ortogonals a una sola línia.

Exemple de simetries finites i hiperbòliques de rang 2
Tipus	Finita					Afí	Hiperbòlica
Geometria					...
Coxeter	[ ]	= [2]=[ ]×[ ]	[3]	[4]	[p]	[∞]	[∞]	[iπ/λ]
Ordre	2	4	6	8	2p	∞
Les línies de miralls es pinten per correspondre als nodes del diagrama de Coxeter. Els dominis fonamentals són de color alternat.
Imatges parelles (directa)					...
Imatges senars (invertida)
Coxeter	[ ]+	[2]+	[3]+	[4]+	[p]+	[∞]+	[∞]+	[iπ/λ]+
Ordre	1	2	3	4	p	∞
Els subgrups cíclics representen reflexos alternatius, totes les imatges parelles (directes).

Grup	Intl.	Orbifold	Coxeter	Diagrama de Coxeter	Ordre	Descripció
Finit
Zn	n	n•	[n]+		n	Cíclic: rotacions de n-plecs. Grup abstracte Zn, el grup d'enters sota mòdul addicional n.
Dn	nm	*n•	[n]		2n	Dièdric: cíclic amb reflexos. Grup abstracte Dihn, el grup dièdric.
Afí
Z∞	∞	∞•	[∞]+		∞	Cíclic: Grup apeirogonal. Grup abstracte Z∞, el grup d'enters sota addició.
Dih∞	∞m	*∞•	[∞]		∞	Dièdric: reflexos paral·lels. Grup dièdric infinit abstracte Dih∞.
Hiperbòlic
Z∞			[πi/λ]+		∞	Grup pseudogonal
Dih∞			[πi/λ]		∞	Grup pseudogonal complet

Grups de rang 3

Els grups puntals en 3 dimensions es poden expressar notació amb claudàtor relacionats amb els grups de Coxeter de rang 3:

Grups finits d'isometries en 3 dimensions[2]
Grups de rotacions						Grups estesos
Nom	Claudàtor	Orb.	Sch.	Abstracte	Ordre	Nom	Claudàtor	Orb.	Sch.	Abstracte	Ordre
Identitat	[ ]+	11	C1	Z1	1	Bilateral	[1,1] = [ ]	*	D1	D1	2
						Central	[2+,2+]	×	Ci	2×Z1	2
Acroròmbic	[1,2]+ = [2]+	22	C₂	Z₂	2	Acrorectangular	[1,2] = [2]	*22	C2v	D₂	4
						Giroròmbic	[2+,4+]	2×	S₄	Z₄	4
						Ortoròmbic	[2,2+]	2*	D1d	D1×Z₂	4
Pararòmbic	[2,2]+	222	D₂	D₂	4	Girorectangular	[2+,4]	2*2	D2d	D₄	8
						Ortorectangular	[2,2]	*222	D2h	D1×D₂	8
Acro-p-gonal	[1,p]+ = [p]+	pp	Cp	Zp	p	Acro-p-gonal complet	[1,p] = [p]	* pp	Cpv	Dp	2p
						Giro-p-gonal	[2+,2p+]	p×	S2p	Z2p	2p
						Orto-p-gonal	[2,p+]	p*	Cph	D1×Zp	2p
Para-p-gonal	[2,p]+	p22	Dp	Dp	2p	Giro-p-gonal complet	[2+,2p]	2* p	Dpd	D2p	4p
						Orto-p-gonal complet	[2,p]	* p22	Dph	D1×Dp	4p
Tetraedral	[3,3]+	332	T	A₄	12	Tetre	[3,3]	*332	Td	S₄	24
						Pyritohedral	[3+,4]	3*2	Th	2×A₄	24
Octaedral	[3,4]+	432	O	S₄	24	Full octahedral	[3,4]	*432	Oh	2×S₄	48
Icosaedral	[3,5]+	532	I	A₅	60	Full icosahedral	[3,5]	*532	Ih	2×A₅	120

En tres dimensions, el grup ortoròmbic complet o ortorectangular [2,2], abstractament D₂×D₂, ordre 8, representa tres miralls ortogonals, (també representats pel diagrama de Coxeter com a tres punts separats ). També es pot representar com un producte directe [ ]×[ ]×[ ], però l'expressió [2,2] permet definir els subgrups:

Primer hi ha un subgrup semidirecte, el grup ortorhombic, [2,2⁺] ( o ), abstractament D₁×Z₂=Z₂×Z₂, d'ordre 4. Quan el superíndex + es dona a l'interior dels claudàtors, significa reflexions generades només es alternen els miralls adjacents (tal com es defineix en el diagrama de Coxeter, ). En general, els ordres de les branques veïnes amb el node + han de ser parell. En aquest cas [2,2⁺] i [2⁺,2] representen dos subgrups isomorfs diferents geomètricament.

Els altres subgrups són el grup pararòmbic [2,2]⁺ ( o ), també amb ordre 4, i finalment el grup central [2⁺ ,2⁺] ( o ) d'ordre 2

A continuació hi ha el grup orto-p-gonal complet, [2,p] (), abstractament D₁×D_p=Z₂×D_p, d'ordre 4p, que representen dos miralls en un angle díedre π/p, i tots dos són ortogonals per a un tercer mirall. També es representa amb el diagrama de Coxeter com .

El subgrup directe es denomina grup para-p-gonal, [2,p]⁺ ( or ), abstractament D_p, d'ordre 2p, i un altre subgrup és [2,p⁺] () abstractament D₁×Z_p, també de l'ordre 2p.

El grup giro-p-gonal complet, [2⁺,2p] ( o ), abstractament D_2p, d'ordre 4p. El grup gyro-p- gonal, [2⁺,2p⁺] ( o ), abstractament Z_2p, d'ordre 2p és un subgrup de [2⁺,2p] i [2,2p⁺].

Els grups polièdrics es basen en la simetria de sòlids platònics: el tetraedre, octaedre, cub, icosaedre i dodecaedre, amb símbol de Schläfli {3,3}, {3,4}, {4,3}, {3,5} i {5,3} respectivament. Els grups de Coxeter són: [3,3] (), [3,4] (), [3,5] (), anomenats simetria tetraedral, simetria octaedral i simetria icosaedral, amb ordres de 24, 48 i 120.

[6,3]⁺ = [3[3^[3]

⁺||

|- align=center | p6mm||*632||p6||[6,3] = [3[3^[3]]] || |} |}

Donats en la notació de Coxeter (notació d'Orbifold), alguns subgrups afins d'índex baix són:

Grup reflexiu	Subgrup reflexiu	Subgrup mixt	Subgrup rotacional	Rotació impròpia / translació	Subgrup commutador
[4,4], (*442)	[1+,4,4], (*442) [4,1+,4], (*2222) [1+,4,4,1+], (*2222)	[4+,4], (4*2) [(4,4,2+)], (2*22) [1+,4,1+,4], (2*22)	[4,4]+, (442) [1+,4,4+], (442) [1+,4,1+4,1+], (2222)	[4+,4+], (22×)	[4+,4+]+, (2222)
[6,3], (*632)	[1+,6,3] = [3[3]], (*333)	[3+,6], (3*3)	[6,3]+, (632) [1+,6,3+], (333)		[1+,6,3+], (333)

Grups de rang 4

• 
  Relacions de subgrups

Grups puntuals

Els grups de rang 4 definits en grups puntuals de quatre dimensions són:

Grups finits
[ ]: Símbol Ordre [1]+ 1.1 [1] = [ ] 2.1 [2]: Símbol Ordre [1+,2]+ 1.1 [2]+ 2.1 [2] 4.1 [2,2]: Símbol Ordre [2+,2+]+ = [(2+,2+,2+)] 1.1 [2+,2+] 2.1 [2,2]+ 4.1 [2+,2] 4.1 [2,2] 8.1 [2,2,2]: Símbol Ordre [(2+,2+,2+,2+)] = [2+,2+,2+]+ 1.1 [2+,2+,2+] 2.1 [2+,2,2+] 4.1 [(2,2)+,2+] 4 [[2+,2+,2+]] 4 [2,2,2]+ 8 [2+,2,2] 8.1 [(2,2)+,2] 8 [[2+,2,2+]] 8.1 [2,2,2] 16.1 [[2,2,2]]+ 16 [[2,2+,2]] 16 [[2,2,2]] 32	[p]: Símbol Ordre [p]+ p [p] 2p [p,2]: Símbol Ordre [p,2]+ 2p [p,2] 4p [2p,2+]: Símbol Ordre [2p,2+] 4p [2p+,2+] 2p [p,2,2]: Símbol Ordre [p+,2,2+] 2p [(p,2)+,2+] 2p [p,2,2]+ 4p [p,2,2+] 4p [p+,2,2] 4p [(p,2)+,2] 4p [p,2,2] 8p [2p,2+,2]: Símbol Ordre [2p+,2+,2+]+ p [2p+,2+,2+] 2p [2p+,2+,2] 4p [2p+,(2,2)+] 4p [2p,(2,2)+] 8p [2p,2+,2] 8p	[p,2,q]: Símbol Ordre [p+,2,q+] pq [p,2,q]+ 2pq [p+,2,q] 2pq [p,2,q] 4pq [(p,2)+,2q]: Símbol Ordre [(p,2)+,2q+] 2pq [(p,2)+,2q] 4pq [2p,2,2q]: Símbol Ordre [2p+,2+,2q+]+= [(2p+,2+,2q+,2+)] pq [2p+,2+,2q+] 2pq [2p,2+,2q+] 4pq [((2p,2)+,(2q,2)+)] 4pq [2p,2+,2q] 8pq [[p,2,p]]: Símbol Ordre [[p+,2,p+]] 2p² [[p,2,p]]+ 4p² [[p,2,p]+] 4p² [[p,2,p]] 8p² [[2p,2,2p]]: Símbol Ordre [[(2p+,2+,2p+,2+)]] 2p² [[2p+,2+,2p+]] 4p² [[((2p,2)+,(2p,2)+)]] 8p² [[2p,2+,2p]] 16p²	[3,3,2]: Símbol Ordre [(3,3)Δ,2,1+] ≅ [2,2]+ 4 [(3,3)Δ,2] ≅ [2,(2,2)+] 8 [(3,3)⅄,2,1+] ≅ [4,2+] 8 [(3,3)+,2,1+] = [3,3]+ 12.5 [(3,3)⅄,2] ≅ [2,4,2+] 16 [3,3,2,1+] = [3,3] 24 [(3,3)+,2] 24.10 [3,3,2]+ 24.10 [3,3,2] 48.36 [4,3,2]: Símbol Ordre [1+,4,3+,2,1+] = [3,3]+ 12 [3+,4,2+] 24 [(3,4)+,2+] 24 [1+,4,3+,2] = [(3,3)+,2] 24.10 [3+,4,2,1+] = [3+,4] 24.10 [(4,3)+,2,1+] = [4,3]+ 24.15 [1+,4,3,2,1+] = [3,3] 24 [1+,4,(3,2)+] = [3,3,2]+ 24 [3,4,2+] 48 [4,3+,2] 48.22 [4,(3,2)+] 48 [(4,3)+,2] 48.36 [1+,4,3,2] = [3,3,2] 48.36 [4,3,2,1+] = [4,3] 48.36 [4,3,2]+ 48.36 [4,3,2] 96.5 [5,3,2]: Símbol Ordre [(5,3)+,2,1+] = [5,3]+ 60.13 [5,3,2,1+] = [5,3] 120.2 [(5,3)+,2] 120.2 [5,3,2]+ 120.2 [5,3,2] 240 (nc)	[31,1,1]: Símbol Ordre [31,1,1]Δ ≅[[4,2+,4]]+ 32 [31,1,1]⅄ 64 [31,1,1]+ 96.1 [31,1,1] 192.2 <[3,31,1]> = [4,3,3] 384.1 [3[31,1,1]] = [3,4,3] 1152.1 [3,3,3]: Símbol Ordre [3,3,3]+ 60.13 [3,3,3] 120.1 [[3,3,3]]+ 120.2 [[3,3,3]+] 120.1 [[3,3,3]] 240.1 [4,3,3]: Símbol Ordre [1+,4,(3,3)Δ] = [31,1,1]Δ ≅[[4,2+,4]]+ 32 [4,(3,3)Δ] = [2+,4[2,2,2]+] ≅[[4,2+,4]] 64 [1+,4,(3,3)⅄] = [31,1,1]⅄ 64 [1+,4,(3,3)+] = [31,1,1]+ 96.1 [4,(3,3)⅄] ≅ [[4,2,4]] 128 [1+,4,3,3] = [31,1,1] 192.2 [4,(3,3)+] 192.1 [4,3,3]+ 192.3 [4,3,3] 384.1 [3,4,3]: Símbol Ordre [3+,4,3+] 288.1 [3,4,3⅄] = [4,3,3] 384.1 [3,4,3]+ 576.2 [3+,4,3] 576.1 [[3+,4,3+]] 576 (nc) [3,4,3] 1152.1 [[3,4,3]]+ 1152 (nc) [[3,4,3]+] 1152 (nc) [[3,4,3]] 2304 (nc) [5,3,3]: Símbol Ordre [5,3,3]+ 7200 (nc) [5,3,3] 14400 (nc)

Subgrups

Grups i subgrups de reflexió 1D-4D
Ordre	Reflexió		Subgrups semidirectes				Subgrups directes		Subgrup commutador
2	[ ]						[ ]+		[ ]+1	[ ]+
4	[2]						[2]+		[2]+2
8	[2,2]		[2+,2]		[2+,2+]		[2,2]+		[2,2]+3
16	[2,2,2]		[2+,2,2] [(2,2)+,2]		[2+,2+,2] [(2,2)+,2+] [2+,2+,2+]		[2,2,2]+ [2+,2,2+]		[2,2,2]+4
	[21,1,1]				[(2+)1,1,1]
2n	[n]						[n]+		[n]+1	[n]+
4n	[2n]						[2n]+		[2n]+2
4n	[2,n]		[2,n+]				[2,n]+		[2,n]+2
8n	[2,2n]		[2+,2n]		[2+,2n+]		[2,2n]+		[2,2n]+3
8n	[2,2,n]		[2+,2,n] [2,2,n+]		[2+,(2,n)+]		[2,2,n]+ [2+,2,n+]		[2,2,n]+3
16n	[2,2,2n]		[2,2+,2n]		[2+,2+,2n] [2,2+,2n+] [(2,2)+,2n+] [2+,2+,2n+]		[2,2,2n]+ [2+,2n,2+]		[2,2,2n]+4
	[2,2n,2]				[2+,2n+,2+]
	[2n,21,1]				[2n+,(2+)1,1]
24	[3,3]						[3,3]+		[3,3]+1	[3,3]+
48	[3,3,2]		[(3,3)+,2]				[3,3,2]+		[3,3,2]+2
48	[4,3]		[4,3+]				[4,3]+		[4,3]+2
96	[4,3,2]		[(4,3)+,2] [4,(3,2)+]				[4,3,2]+		[4,3,2]+3
	[3,4,2]		[3,4,2+] [3+,4,2]		[(3,4)+,2+]		[3+,4,2+]
120	[5,3]						[5,3]+		[5,3]+1	[5,3]+
240	[5,3,2]		[(5,3)+,2]				[5,3,2]+		[5,3,2]+2
4pq	[p,2,q]		[p+,2,q]				[p,2,q]+ [p+,2,q+]		[p,2,q]+2	[p+,2,q+]
8pq	[2p,2,q]		[2p,(2,q)+]		[2p+,(2,q)+]		[2p,2,q]+		[2p,2,q]+3
16pq	[2p,2,2q]		[2p,2+,2q]		[2p+,2+,2q] [2p+,2+,2q+] [(2p,(2,2q)+,2+)]	-	[2p,2,2q]+		[2p,2,2q]+4
120	[3,3,3]						[3,3,3]+		[3,3,3]+1	[3,3,3]+
192	[31,1,1]						[31,1,1]+		[31,1,1]+1	[31,1,1]+
384	[4,3,3]		[4,(3,3)+]				[4,3,3]+		[4,3,3]+2
1152	[3,4,3]		[3+,4,3]				[3,4,3]+ [3+,4,3+]		[3,4,3]+2	[3+,4,3+]
14400	[5,3,3]						[5,3,3]+		[5,3,3]+1	[5,3,3]+

Grups espacials

Grups espacials
Isomorfisme afí i correspondències	8 grups espacials cúbics com a simetria estesa de [3[4]], amb diagrames de Coxeter quadrats i dominis fonamentals reflectits	35 grups espacials cúbics en notació de Fibrifold i notació Coxeter

Grups de rang 4 com a grups espacials tridimensionals
Sistema triclínic (1-2) Coxeter Grup espacial [∞+,2,∞+,2,∞+] (1) P1 Sistema monoclínic (3-15) Coxeter Grup espacial [(∞,2,∞)+,2,∞+] (3) P2 [∞+,2,∞+,2,∞] (6) Pm [(∞,2,∞)+,2,∞] (10) P2/m Sistema ortoròmbic (16-74) Coxeter Grup espacial [∞,2,∞,2,∞]+ (16) P222 [[∞,2,∞,2,∞]]+ (23) I222 [∞+,2,∞,2,∞] (25) Pmm2 [∞,2,∞,2,∞] (47) Pmmm [[∞,2,∞,2,∞]] (71) Immm [∞+,2,∞+,2,∞+] [∞,2,∞,2+,∞] [∞,2+,∞,2+,∞]	Sistema tetragonal (75-142) Coxeter Grup espacial [(4,4)+,2,∞+] (75) P4 [2+[(4,4)+,2,∞+]] (79) I4 [(4,4)+,2,∞] (83) P4/m [2+[(4,4)+,2,∞]] (87) I4/m [4,4,2,∞]+ (89) P422 [2+[4,4,2,∞]]+ (97) I422 [4,4,2,∞+] (99) P4mm [4,4,2,∞] (123) P4/mmm [2+[4,4,2,∞]] (139) I4/mmm [4,(4,2)+,∞] (140) I4/mcm [4,4,2+,∞] [(4,4)+,2+,∞] [4,4,2+,∞+] [(4,4)+,2+,∞+] [4+,4+,2+,∞] [4,4+,2,∞] [4,4+,2+,∞] [((4,2+,4)),2,∞] [4,4+,2,∞+] [4,4+,2+,∞+] [((4,2+,4)),2,∞+]	Sistema trigonal (143-167), romboedral Coxeter Grup espacial Sistema hexagonal (168-194) [(6,3)+,2,∞+] (168) P6 [(6,3)+,2,∞] (175) P6/m [6,3,2,∞]+ (177) P622 [6,3,2,∞+] (183) P6mm [6,3,2,∞] (191) P6/mmm [(3[3])+,2,∞+] [3[3],2,∞] [6,3+,2,∞] [6,3+,2,∞+] [3[3],2,∞]+ [3[3],2,∞+] [(3[3])+,2,∞]	Sistema cúbic (195-230) Grup Coxeter Grup espacial Índex [[4,3,4]] [[4,3,4]] (229) Im3m 1 [[4,3,4]]+ (211) I432 2 [[4,3,4]+] (223) Pm3n 2 [[4,3+,4]] (204) I3 2 [[(4,3,4,2+)]] (217) I43m 2 [[4,3+,4]]+ (197) I23 4 [[4,3,4]+]+ (208) P4₂32 4 [[4,3+,4)]+] (201) Pn43 4 [[(4,3,4,2+)]+] (218) P43n 4 [4,3,4] [4,3,4] (221) Pm3m 2 [4,3,4]+ (207) P432 4 [4,3+,4] (200) Pm3 4 [4,(3,4)+] (226) Fm3c 4 [(4,3,4,2+)] (215) P43m 4 [[{4,(3}+,4)+]] (228) Fd3c 4 [4,3+,4]+ (195) P23 8 [{4,(3}+,4)+] (219) F43c 8 [4,31,1] [4,31,1] (225) Fm3m 4 [4,(31,1)+] (202) Fm3 8 [4,31,1]+ (209) F432 8 [[3[4]]] [(4+,2+)[3[4]]] (222) Pn3n 2 [[3[4]]] (227) Fd3m 4 [[3[4]]]+ (203) Fd3 8 [[3[4]]+] (210) F4132 8 [3[4]] [3[4]] (216) F43m 8 [3[4]]+ (196) F23 16

Grups lineals

Els grups del rang quatre també defineixen els grup lineals en tres dimensions:

Grups semiafins (3D)
Grup puntual			Grup línial
Hermann-Mauguin		Schönflies	Hermann-Mauguin		Tipus de desplaçament	Paper pintat			Coxeter [∞h,2,pv]
n parell	n senar		n parell	n senar		UIC	Orbifold	Diagrama
n		Cn	Pnq		Helicoïde: q	p1	o		[∞+,2,n+]
2n	n	S2n	P2n	Pn	Cap	p11g, pg(h)	××		[(∞,2)+,2n+]
n/m	2n	Cnh	Pn/m	P2n	Cap	p11m, pm(h)	**		[∞+,2,n]
2n/m		C2nh	P2nn/m		Ziga-zaga	c11m, cm(h)	*×		[∞+,2+,2n]
nmm	nm	Cnv	Pnmm	Pnm	Cap	p1m1, pm(v)	**		[∞,2,n+]
			Pncc	Pnc	Pla de reflexió	p1g1, pg(v)	××		[∞+,(2,n)+]
2nmm		C2nv	P2nnmc		Ziga-zaga	c1m1, cm(v)	*×		[∞,2+,2n+]
n22	n2	Dn	Pnq22	Pnq2	Helicoïde: q	p2	2222		[∞,2,n]+
2n2m	nm	Dnd	P2n2m	Pnm	Cap	p2mg, pmg(h)	22*		[(∞,2)+,2n]
			P2n2c	Pnc	Plànol de reflexió	p2gg, pgg	22×		[+(∞,(2),2n)+]
n/mmm	2n2m	Dnh	Pn/mmm	P2n2m	Cap	p2mm, pmm	*2222		[∞,2,n]
			Pn/mcc	P2n2c	Plànol de reflexió	p2mg, pmg(v)	22*		[∞,(2,n)+]
2n/mmm		D2nh	P2nn/mcm		Ziga-zaga	c2mm, cmm	2*22		[∞,2+,2n]

Grups duoprismàtics

La classificació de quatre grups defineix els grups duoprismàtics en quatre dimensions. En el límit quan p i q tendeixen a l'infinit, degeneren en 2 dimensions i els grups del paper pintat.

Grups duoprismàtics (4D)
Paper pintat			Coxeter [p,2,q]	Coxeter [[p,2,p]]	Paper pintat
UIC	Orbifold	Diagrama			UIC	Orbifold	Diagrama
p1	o		[p+,2,q+]	[[p+,2,p+]]	p1	o
pg	××		[(p,2)+,2q+]	-
pm	**		[p+,2,q]	-
cm	*×		[2p+,2+,2q]	-
p2	2222		[p,2,q]+	[[p,2,p]]+	p4	442
pmg	22*		[(p,2)+,2q]	-
pgg	22×		[+(2p,(2),2q)+]	[[+(2p,(2),2p)+]]	cmm	2*22
pmm	*2222		[p,2,q]	[[p,2,p]]	p4m	*442
cmm	2*22		[2p,2+,2q]	[[2p,2+,2p]]	p4g	4*2

Simetria duoprismàtica estesa
Grups duoprismàtics estesos, [p]×[p] o [p,2,p] o , expressada en relació a la seva simetria disfenoide tetragonal de domini fonamental

Grups del paper pintat

Els grups del rang 4 també van definir alguns dels grups del paper pintat bidimensionals, com a casos límits dels grups duoprisma en quatre dimensions:

Afí (Pla 2D)
UIC Orb. Geo Coxeter Diagrama p1 o p1 [∞+,2,∞+] [∞+,2+,∞+] [(∞+,2+,∞+,2+)] p2 2222 p2 [∞,2,∞]+ [(∞,2+,∞,2+)] p11g ×× pg1 h: [∞+,(2,∞)+] p1g1 v: [(∞,2)+,∞+] p2gm 22* pg2 h: [(∞,2)+,∞] p2mg v: [∞,(2,∞)+]	IUC Orb. Geo Coxeter Diagrama p11m ** p1 h: [∞+,2,∞] p1m1 v: [∞,2,∞+] p2mm *2222 p2 [∞,2,∞] c11m *× c1 h: [∞+,2+,∞] c1m1 v: [∞,2+,∞+] p2gg 22× pg2g [+(∞,(2),∞)+] [((∞,2)+)[2]] c2mm 2*22 c2 [∞,2+,∞]

Els subgrups de [∞,2,∞], (*2222) es poden expressar al seu subgrup de commutador d'índex 16:

Subgrups de [∞,2,∞]
Grup reflexiu	Subgrup reflexiu	Subgrup mixt	Subgrup translació	Translació/ rotació impròpia	Subgrup commutador
[∞,2,∞], (*2222)	[1+,∞,2,∞], (*2222)	[∞+,2,∞], (**)	[∞,2,∞]+, (2222)	[∞,2+,∞]+, (°) [∞+,2+,∞+], (°) [∞+,2,∞+], (°) [∞+,2+,∞], (*×) [(∞,2)+,∞+], (××) [+(∞,(2),∞)+], (22×)	[(∞+,2+,∞+,2+)], (°)
		[∞,2+,∞], (2*22) [(∞,2)+,∞], (22*)

Reflexions complexes

La notació de Coxeter s'ha ampliat a l'espai complex, Cⁿ on els nodes són reflexos unitaris de període superior a 2. Els nodes s'etiqueten amb un índex, que se suposa que és 2 per a la reflexió real ordinària si se suprimeix. Els grups de reflexió complexos s'anomenen «grups de Shephard» en lloc de «grups de Coxeter», i es poden utilitzar per construir politops complexes.

En ${\displaystyle \mathbb {C} ^{1}}$, un grup de Shephard de rang 1 , ordre p, es representa com _p[], []_p o ]_p[. Té un sol generador, que representa a 2π/p radians de rotació al pla complex: ${\displaystyle e^{2\pi i/p}}$.

Coxeter escriu el grup complex del rang 2, _p[q]_r, que representa el diagrama de Coxeter . Les p i r només s'han de suprimir si totes dues són 2, que és el cas real [q]. L'ordre del grup del rang 2 _p[q]_r és ${\displaystyle g=8/q(1/p+2/q+1/r-1)^{-2}}$.^[8]

Les solucions de rang 2 que generen polígons complexos són: _p[4]₂ (p és 2,3,4…), ₃[3]₃, ₃[6]₂, ₃[4]₃, ₄[3]₄, ₃[8]₂, ₄[6]₂, ₄[4]₃, ₃[5]₃, ₅[3]₅, ₃[10]₂, ₅[6]₂, i ₅[4]₃, que corresponen als diagrames de Coxeter , , , , , , , , , , , , .

• 
  Totes les relacions de subgrups en grups de Shephard de rang 2
• 
  Algunes relacions de subgrups entre grups de Shephard infinits

Són grups infinits ₃[12]₂, ₄[8]₂, ₆[6]₂, ₃[6]₃, ₆[4]₃, ₄[4]₄, i ₆[3]₆ o , , , , , , .

Els subgrups d'índex 2 existeixen eliminant una reflexió real: _p[2q]₂ → _p[q]_p. També hi ha subgrups d'índex r per a 4 branques: _p[4]_r → _p[r]_p.

Per a la família infinita _p[4]₂, per a qualsevol p = 2, 3, 4,..., hi ha dos subgrups: _p[4]₂ → [p] (índex p), i _p[4]₂ → _p[]×_p[] (índex 2).

Referències

1. Johnson (2018), 11.6 Subgroups and extensions, p 255, halving subgroups
2. Johnson (2018), pp.231-236, and p 245 Table 11.4 Finite groups of isometries in 3-space
3. Johnson (2018), 11.6 Subgroups and extensions, p 259, radical subgroup
4. Johnson (2018), 11.6 Subgroups and extensions, p 258, trionic subgroups.
5. Conway, 2003, p.46, Table 4.2 Chiral groups II
6. Coxeter and Moser, 1980, Sec 9.5 Commutator subgroup, p. 124–126
7. Johnson, Norman W.; Weiss, Asia Ivić «Quaternionic modular groups» (en anglès). Linear Algebra and Its Applications, 295(1–3), 1999, pàg. 159–189. DOI: 10.1016/S0024-3795(99)00107-X.
8. Coxeter, Regular Complex Polytopes, 9.7 Two-generator subgroups reflections. pp. 178–179

Bibliografia

• H.S.M. Coxeter:
  • Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, editied by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6
    • (Paper 22) Coxeter, H.S.M. «Regular and Semi Regular Polytopes I». Math. Z., 46, 1940, pàg. 380–407. DOI: 10.1007/bf01181449.
    • (Paper 23) Coxeter, H.S.M. «Regular and Semi-Regular Polytopes II». Math. Z., 188(4), 1985, pàg. 559–591. DOI: 10.1007/bf01161657.
    • (Paper 24) Coxeter, H.S.M. «Regular and Semi-Regular Polytopes III». Math. Z., 200, 1988, pàg. 3–45. DOI: 10.1007/bf01161745.
• Coxeter, H. S. M. enllaçautor=Donald Coxeter; Moser, W. O. J.. Generators and Relations for Discrete Groups. Nova York: Springer-Verlag, 1980. ISBN 0-387-09212-9.
• Norman Johnson Uniform Polytopes, Manuscript (1991)
  • N.W. Johnson: The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs, Ph.D. (1966)
  • Norman W. Johnson and Asia Ivic Weiss Quadratic Integers and Coxeter Groups Arxivat 2023-03-26 a Wayback Machine. PDF Can. J. Math. Vol. 51 (6), 1999 pp. 1307–1336
  • N. W. Johnson: Geometries and Transformations, (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Chapter 11: Finite symmetry groups
• Conway, John Horton; Delgado Friedrichs, Olaf; Huson, Daniel H.; Thurston «On three-dimensional space groups». Beiträge zur Algebra und Geometrie. Contributions to Algebra and Geometry, 42(2), 2001, pàg. 475–507. ISSN: 0138-4821.
• John H. Conway and Derek A. Smith, On Quaternions and Octonions, 2003, ISBN 978-1-56881-134-5
• The Symmetries of Things 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN 978-1-56881-220-5 Ch.22 35 prime space groups, ch.25 184 composite space groups, ch.26 Higher still, 4D point groups