Nombre de condició
From Wikipedia, the free encyclopedia
En l'àmbit de l'anàlisi numèrica, el nombre de condició d'una funció respecte a un argument mesura com canvia el resultat de la funció per un canvi petit en l'argument d'entrada. Això s'utilitza per definir la sensibilitat d'una funció respecte errors en l'entrada, i quant error s'obté en el resultat arran d'un error en l'entrada. Molt freqüentment, hom es troba amb el problema de trobar una funció inversa – donada , volem resoldre per x, i per tant hom ha d'emprar el nombre de condició de la inversa (local).
El nombre de condició és una aplicació de la derivada, i formalment es defineix com el valor absolut del canvi relatiu del resultat en el cas pitjor asimptòtic, respecte a un canvi relatiu en l'entrada. La "funció" és la solució d'un problema i els "arguments" en són les dades. El nombre de condició sovint s'aplica en qüestions d'àlgebra lineal, on la derivada és senzilla de calcular, però l'error pot aparèixer en diferents direccions, i es calcula segons la geometria de la matriu. Més generalment, es poden definir els nombres de condició per funcions no lineals en diverses variables.
Un problema amb un nombre de condició baix s'anomena ben condicionat, mentre que un problema amb un nombre de condició alt s'anomena mal condicionat. El nombre de condició és una propietat del problema. Conjuntament amb el problema existeixen els algorismes per resoldre'l, és a dir, per trobar-ne la solució. Alguns algorismes tenen una propietat anomenada estabilitat numèrica. En general, hom espera que un algorisme amb estabilitat numèrica pugui resoldre amb precisió problemes ben condicionats. Alguns tractats d'anàlisi numèrica proporcionen fórmules pels nombres de condició dels problemes i identifiquen algorismes numèricament estables.
Com a regla general, si el nombre de condició és , aleshores hom pot perdre fins a
dígits significatius pel fet d'emprar un cert mètode numèric, degut a la pèrdua de precisió dels càlculs aritmètics.[1] Tot i això, el nombre de condició no proporciona el valor exacte de la màxima imprecisió que podem tenir en l'algorisme. Generalment, només estableix una fita amb una estimació de l'error (el valor calculat del qual depèn de l'elecció de la norma emprada per mesurar la imprecisió).