Nombre de Cullen

En matemàtiques, un nombre de Cullen és un nombre enter positiu de la forma ${\displaystyle C_{n}=n\cdot 2^{n}+1}$^[1]

Aquests nombres van ser estudiats per primer cop pel matemàtic James Cullen l'any 1905, i són un cas particular dels nombres de Proth.

Nombres primers de Cullen

Un nombre primer de Cullen és un nombre de Cullen que és, a la vegada primer.

Es poden consultar els primers nombres de Cullen a la seqüència OEIS A002064

Es creu que els nombres primers de Cullen són infinits, però encara no ha estat demostrat. Tampoc se sap si existeix un nombre primer p tal que C_p sigui també primer.

A data d'agost de 2009, el nombre primer més gran conegut és el ${\displaystyle 6679881\times 2^{6679881}+1}$. És un nombre megaprimer (un nombre primer amb més d'un milió de xifres) que té 2.010.852 xifres i va ser descobert per un usuari de PrimeGrid del Japó.^[2]

Generalització

Un nombre generalitzat de Cullen és aquell de la forma n · bⁿ + 1 on n + 2 > b. Si un nombre d'aquests és alhora primer, és anomenat primer generalitzat de Cullen.

Els nombres n als quals C_n és primer són a l'OEIS A005849

A data de febrer de 2012, el primer generalitzat de Cullen més gran conegut és el ${\displaystyle 427194\times 113^{427194}+1}$, de 877.069 xifres, i va ser descobert per un participant de PrimeGrid dels Estats Units.^[3]

Referències

1. Weisstein, Eric W., «Cullen number» a MathWorld (en anglès). [Consulta: 1 gener 2021]
2. «The Prime Database: 6679881*2^6679881+1». Chris Caldwell's The Largest Known Primes Database. [Consulta: 22 desembre 2009].
3. «The Prime Database: 427194 · 113^427194 + 1». Chris Caldwell's The Largest Known Primes Database. [Consulta: 30 gener 2012].

Bibliografia

• Cullen, James «Question 15897». Educ. Times, 534, 1905.
• Guy, Richard K. Unsolved Problems in Number Theory. 3rd ed.. New York: Springer Verlag, 2004. ISBN 0-387-20860-7.
• Hooley, Christopher. Applications of sieve methods. Cambridge University Press: Cambridge Tracts in Mathematics, 1976, p. 115–119. ISBN 0-521-20915-3.
• Keller, Wilfrid «New Cullen Primes» (PDF). Mathematics of Computation, 64, 212, 1995, pàg. 1733–1741. DOI: 10.2307/2153382. ISSN: 0025-5718.

Vegeu també

• Nombre de Woodall

Enllaços externs

• Chris Caldwell, The Top Twenty: Cullen primes a The Prime Pages.
• The Prime Glossary: Cullen number a The Prime Pages.
• Paul Leyland, Generalized Cullen and Woodall Numbers Arxivat 2012-02-04 a Wayback Machine.