N-pla

En matemàtiques, si n és un nombre natural, aleshores una n-pla (de vegades n-tupla) és una seqüència o llista ordenada de n objectes, i aquests elements es diu que són les seves components.^[1] Si anomenem a₁ la primera d'aquestes components, a₂ la segona i així successivament fins a_n la n-èsima; es designa la n-pla corresponent amb la notació ${\displaystyle (a_{1},a_{2},...,a_{n})}$. De vegades s'usen altres delimitadors diferents als parèntesis, com els claudàtors [ ] o els claudàtors angulars ⟨ ⟩.^[2] Les claus { } no s'empren gairebé mai en aquest sentit perquè són la notació estàndard dels conjunts.

Formalment es defineix la relació d'igualtat entre dues n-ples ${\displaystyle (a_{1},a_{2},...,a_{n})}$ i ${\displaystyle (b_{1},b_{2},...,b_{n})}$ quan aquestes comparteixen totes les seves components, és a dir:

${\displaystyle (a_{1},a_{2},...,a_{n})=(b_{1},b_{2},...,b_{n}):\iff a_{1}=b_{1},a_{2}=b_{2},...,a_{n}=b_{n}}$

Les n-ples són els elements del producte cartesià ${\displaystyle E_{1}\times E_{2}\times \cdots \times E_{n}}$ dels ${\displaystyle n}$ conjunts ${\displaystyle E_{1},E_{2},...,E_{n}}$. També es poden veure com la generalització a ${\displaystyle n}$ components dels parells ordenats. Els noms tradicionals per a n-ples de n petita són singletó per la 1-pla, parell per la 2-pla, terna per la 3-pla, quaterna o quaternió per la 4-pla.^[3][4]

Propietats

Les principals propietats que distingeixen les n-ples o llistes ordenades d'altres objectes matemàtics com els conjunts són:

• Pot contenir un mateix element més d'una vegada, ${\displaystyle \{a,b,b\}=\{a,b\}}$ però ${\displaystyle (a,b,b)\neq (a,b)}$.
• L'ordre en el que apareix cada element té importància, ${\displaystyle \{a,b\}=\{b,a\}}$ però ${\displaystyle (a,b)\neq (b,a)}$.
• Té mida finita ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$.

En concret, la primera d'aquestes propietats el distingeix d'un conjunt totalment ordenat, la segona d'un multiconjunt i la tercera d'una successió. En relació amb aquestes últimes, una n-pla també es pot veure com una aplicació des d'un subconjunt finit de ℕ, és a dir, la n-pla ${\displaystyle (a_{1},a_{2},...,a_{n})}$ es pot definir amb la funció

${\displaystyle \{1,2,...,n\}\rightarrow A}$

${\displaystyle i\mapsto a_{i}}$

Teoria de conjunts

Tot i que els conceptes de n-pla i de conjunt són diferents (vegeu-ho a l'apartat propietats), en teoria de conjunts es pot definir el primer a partir del segon. La forma usual de fer-ho és identificant la n-pla ${\displaystyle (a_{1},a_{2},...,a_{n})}$ amb el conjunt

${\displaystyle \{a_{1},\{a_{1},\{a_{2},\{a_{2},\{a_{3},\{a_{3},\{\cdots ,\{a_{n-1},\{a_{n-1},a_{n}\}\}\cdots \}\}\}\}\}\}\}}$.

O bé reduint-ho a parells:

${\displaystyle (a_{1},a_{2},...,a_{n}):=(a_{1},(a_{2},(\cdots ,(a_{n-1},a_{n})\cdots )))}$.

i usant la definició formal conjuntista del parell ordenat:

${\displaystyle (a_{1},a_{2}):=\{a_{1},\{a_{1},a_{2}\}\}}$.

Vectors

Les n-ples a elements d'un cos K (és a dir, els elements del producte cartesià n-èsim ${\displaystyle K^{n}=K\times \cdots \times K}$) són l'exemple més usual de vectors. En concret, amb les operacions

${\displaystyle (a_{1},a_{2},...,a_{n})+(b_{1},b_{2},...,b_{n}):=(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\cdots ,a_{n}+b_{n})}$ on ${\displaystyle +}$ denota la suma del cos.

${\displaystyle \lambda (a_{1},a_{2},...,a_{n}):=(\lambda a_{1},\lambda a_{2},\cdots ,\lambda a_{n})}$ on ${\displaystyle \lambda }$ és un element del cos i ${\displaystyle \lambda a_{i}}$ és la multiplicació del cos.

tindrem ben definit un espai vectorial de dimensió ${\displaystyle n}$ sobre el cos en qüestió.

Referències

1. «TERMCAT – La finestra neològica». [Consulta: 17 desembre 2018].
2. Matthews, P. H.. N‐tuple (en anglès). Oxford University Press, 2007. DOI 10.1093/acref/9780199202720.001.0001/acref-9780199202720-e-2276. ISBN 9780199202720.
3. n-Tuple a MathWorld (anglès)
4. «Tuple Definition». [Consulta: 17 gener 2022].

Vegeu també

• Producte cartesià