Una matriu A de n×m elements:
![{\displaystyle A=(a_{i,j})={\begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}&\cdots &a_{1,m}\\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}&\cdots &a_{2,m}\\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}&\cdots &a_{3,m}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&a_{n,2}&a_{n,3}&\cdots &a_{n,m}\\\end{pmatrix}}\in {\mathcal {M}}_{n\times m}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86e389815b4a8266db0ecff8956bd2dfb192aa8a)
és triangular superior,[1] quan és una matriu quadrada (n=m) i
per a tot i>j i
. És a dir, té la forma
![{\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}&\cdots &a_{1,n-1}&a_{1,n}\\0&a_{2,2}&a_{2,3}&\cdots &a_{2,n-1}&a_{2,n}\\0&0&a_{3,3}&\cdots &a_{3,n-1}&a_{3,n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &a_{n-1,n-1}&a_{n-1,n}\\0&0&0&\cdots &0&a_{n,n}\\\end{pmatrix}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dda0f1ef493d0716478078e75172ad4e6c718337)
En cas contrari, si és quadrada però
per a tot i<j i
,[2] aleshores A és una matriu triangular inferior que té la forma:
![{\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{1,1}&0&0&\cdots &0&0\\a_{2,1}&a_{2,2}&0&\cdots &0&0\\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\a_{n-1,1}&a_{n-1,2}&a_{n-1,3}&\cdots &a_{n-1,n-1}&0\\a_{n,1}&a_{n,2}&a_{n,3}&\cdots &a_{n,n-1}&a_{n,n}\\\end{pmatrix}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6343f9cb5c1fd1ddbe2c53842769f3c679f77519)
Per exemple, amb n = 3, la següent matriu és triangular superior:
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&4&2\\0&3&4\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/905b3eee3f8786e7e071d1d377e70c07f4d550cc)
i la següent és triangular inferior:
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0\\2&8&0\\4&9&7\\\end{pmatrix}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5eea19e94f167d0178b8bbd139d1c03643426b5)
Se solen fer servir les lletres U i L, respectivament, ja que U és la inicial de "upper triangular matrix" i L de "lower triangular matrix", els noms que reben aquestes matrius en anglès.
En general, es poden realitzar les operacions en aquestes matrius en la meitat de temps.