Integral curvilínia
From Wikipedia, the free encyclopedia
En matemàtiques, una integral curvilínia és una integral on la funció a integrar s'avalua al llarg d'una corba.[1] També s'utilitzen els termes integral de camí, integral de corba i integral de línia; També s'utilitza el nom d'integral de contorn, encara que normalment es reserva per a integrals curvilínies en corbes tancades i en el pla complex.
La funció a integrar pot ser un camp escalar o un camp vectorial. El valor de la integral curvilínia és la suma dels valors del camp en tots els punts de la corba, ponderats per alguna funció escalar de la corba (normalment la longitud d'arc o, per a un camp vectorial, el producte escalar del camp vectorial amb un vector diferencial a la corba). Aquesta ponderació distingeix la integral curvilínia de les integrals més simples definides en intervals. Moltes fórmules senzilles en física, com la definició de treball com , tenen anàlegs continus naturals en termes d'integrals curvilínies, en aquest cas , que calcula el treball fet sobre un objecte que es mou a través d'un camp elèctric o gravitatori al llarg d'un camí
Intuïtivament es pot interpretar aquesta integral curvilínia pensant que el camp gravitacional aplica a l'objecte una força diferent en cada punt (la magnitud i la direcció d'aquesta força depèn de la distància del punt a les masses que generen el camp gravitacional). En moure's l'objecte (tot resseguint la corba) una distància infinitesimal , el camp gravitatori fa sobre ell un treball igual al producte de la força pel desplaçament pel cosinus de l'angle entre el vector força i el vector desplaçament. La suma de tots aquests treballs infinitesimals és el valor de la integral curvilínia.
La integral curvilínia es pot calcular amb mètodes numèrics, per exemple aproximant els desplaçaments infinitesimals per desplaçaments petits però finits o transformant-la en una integral definida en un interval i llavors aplicant les tècniques per resoldre aquest tipus d'integrals.